曲線と直線の交点

質問

代数曲線のはなしという本にでてくる、（ｘの3乗）＋（ｘの2乗）＋（ｙの2乗）＝０という曲線をCとして、原点を通る直線とCとの交点を考える例題についての質問です。

このときの「Cは原点で２本の複素直線ｘ＋ｉｙ＝０とｘーｉｙ＝０に沿った方向に枝分れをしていて、原点を通る直線はこの枝との交わりとして２個以上の交点をもつ」という説明の意味がよくわかりません。

枝の意味がわからないのと、原点を通る直線はｘ＝λｔ、ｙ＝μｔとおけるので（（λの３乗）ｔ＋（λの２乗）＋（μの２乗））（ｔの２乗）＝０よりｔ＝０またはー（（λの２乗）＋（μの２乗））／（λの３乗）でよさそうなのになぜ複素直線という変なものを考えるのか。また、（λ＋ｉμ）ｔ＝０ならｔ＝０またはλ＋ｉμ＝０で、（λーｉμ）ｔ＝０ならｔ＝０またはλーｉμ＝０だからどちらにしてもそういうλとμの組み合わせは無限個あって、複素直線と原点を通る直線の交点は無限個だから２個以上という考え方なのか。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

仰る通りのやりかたで良いと思います。

　「曲線」とは複素数の対(x,y)の集合
　　C = { (x,y) | x,yは複素数で、(x^3) + (x^2) + (y^2) = 0}
である。（x^2 はxの2乗の意味です。）（もしCをxからyへの関数だと思おうとすれば「枝分かれがある」という議論になる。けれども、Cを単なる集合として見ているぶんには、そんなの関係なし。）
　一方「原点を通る直線」とは複素数λ, μ（ただしλかμの少なくとも一方は0でない）を決めたとき、
　　L(λ, μ) = { (λt,μt) | tは複素数}
という複素数の対の集合である。ただし、0でない任意の複素数αについて
　　L(αλ, αμ) = L(λ, μ)
だから、同じ集合を表すλ, μの組み合わせはいくらでもある、という点には注意。

　そして、両者の共通部分 C∩L(λ, μ) が「交点」です。だから、
　　C∩L(λ, μ) = { (λt,μt) | tは複素数で、((λt)^3) + ((λt)^2) + ((μt)^2) = 0}
　　= { (λt,μt) | tは複素数で、(t^2)((λ^3)t + λ^2 + μ^2) = 0}
　　= { (λt,μt) | tは複素数で、t = 0 または (λ^3)t = -(λ^2 + μ^2)}
　なので、λ=0 のとき、交点は
　　C∩L(0, μ) = {(0,0)}
です。また、λ≠ 0 のとき、交点は
　　C∩L(λ, μ) ={ (0,0), -(1 + (μ/λ)^2), -(μ/λ)(1 + (μ/λ)^2)) }
であり、交点の個数は (μ/λ)^2≠-1 なら2個、 (μ/λ)^2=-1なら1個。
　（なお、λ, μは(μ/λ)の形でしか現れないので、同じ「原点を通る直線」をL(αλ, αμ) と表しても答は変わらない。）

　となると、「2個以上の交点を持つ」というはなしは腑に落ちませんねー。

お礼

不明点がクリアになって様子がみえてきました。
y軸に”平行”だとたしかに1つですね。

ありがとうございました。

回答No.2

ramayana

全体を複素数の世界で議論すべきところを、中途半端に実数の世界の感覚を持ち込んでしまっているみたいですね。

x^3 + x^2 + y^2 = 0 を y について解くと、x = 0 の近傍で

[1]　　y = ix(x+1)^(1/2) 又は y = -ix(x+1)^(1/2)

となります。(x+1)^(1/2) は多価関数で、x = 0 の近傍で 1 になるものと -1 になるものの 2 種類があります。ここでは、便宜上、x = 0 の近傍で 1 になるものを (x+1)^(1/2) で表すことにします（x = 0 の近傍で -1 になるものを選んだとしても同じ結果になる）。

さて、[1] に示されたごとく、x = 0 の近傍で y は 2 種類の関数で表されます。どっちの関数も、x = 0 で y = 0 です。すなわち、x^3 + x^2 + y^2 = 0　のグラフは、原点の近傍では原点を通る 2 本の曲線となります。

次に、それぞれの曲線の原点における接線を求めてみましょう。接線の傾きは、dy/dx です。実際に計算すると、

[2]　　dy/dx = i((x+1)^(1/2) + (1/2)x(x+1)^(-1/2))
　　又は
　　　dy/dx = -i((x+1)^(1/2) + (1/2)x(x+1)^(-1/2))

となります。とくに x = 0 のとき、dy/dx は、i 又は –i です。よって、接線の方程式は、

[3]　　y = ix 又は y = -ix

となります。
その本に書かれているのは、上のようなことを指しているのでしょう。

なお、ご質問の中で「なぜ複素直線という変なものを考えるのか」とありますが、複素数の世界の議論なのだから、直線も複素数の世界で考えるのは当然です。ちなみに、複素数の世界の直線や曲線は、実数の世界の平面や曲面に相当します。

お礼

接線の定義とかが本とは違うやりかたで、「dy/dx です」は受け入れられないし、ご回答の内容だと質問の答えにならないのですが、本に書いてあることと全く別のアプローチという意味で参考になりました。

補足

「全体を複素数の世界で議論すべきところを、中途半端に実数の世界の感覚を持ち込んでしまっているみたいですね。」これはどういう意味ですか？本ではそういう区別がまったくされていませんでした。

「複素数の世界の議論なのだから、直線も複素数の世界で考えるのは当然です。」とありますが、本ではそういうこと（複素数の世界）が全く触れられていないのです。だから当たり前といわれても困ってしまう。それで質問したわけですが。

枝といっているのは多価関数の枝の意味ですか？本の書き方からそういうふうに考えづらいです。

「グラフは、原点の近傍では原点を通る 2 本の曲線となります」のところがよくわかりません。

回答No.1

trytobe

まず、曲線C： （ｘの3乗）＋（ｘの2乗）＋（ｙの2乗）＝０ の、ｘ や y が実数なのか複素数なのか、というところを明示するところから入ったほうが良いように思います。

ｘ，ｙ ともに実数であれば、ｘｙ平面の上に曲線Ｃ （実際にはｚ軸方向に上下幅を持って曲面があるのをｘｙ平面が切った断面）があり、

ｘｙ平面を複素平面であるかのように置き換えて議論すれば（ｘを実数軸、ｙを虚数軸を見れば）、「Cは原点で２本の複素直線ｘ＋ｉｙ＝０とｘ－ｉｙ＝０に沿った方向に枝分れをして」いるかもしれません。少なくとも、曲線Ｃは原点（ｘ，ｙ）＝（０，０）を通るので。

補足

「ｘ や y が実数なのか複素数なのか」とのことですが、どっちでもいいです。そこ重要ですか？質問の説明はｘもｙも複素数を動く場合について述べているわけですし実数と考えると意味が通じなく成ります。

「ｘｙ平面を複素平面」そう考えるのではないと思います。あえていえば複素平面と複素平面の直積ではないですか？