2直線の交点を通る直線の式について

質問

2直線の交点を通る直線の式について
2直線をax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0の交点を通る直線の式は
ax+by+c+k(a'x+b'y+c')=0　…(＊)
であらわすことができますよね。

(＊)が、2直線をax+by+c=0,a'x+b'y+c'=0の交点を通る直線の式となっていることは理解できます。
しかし、(＊)の式を用いなくても、2直線の交点を通る直線の式を求めることはできますよね。連立方程式を解いたりして…
わざわざ、(＊)のような式を立てる意味は何ですか??

また、なぜk倍しているのでしょうか??

そもそも、なぜ異なる２式を(＊)のように足すことができるのでしょうか??

回答よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> また、なぜk倍しているのでしょうか??

「2直線の式を足すと、両者の交点の座標を通る直線の式が求まる理由」が分からないと、
恐らく理解できないと思います。

直線の式にある点の座標を代入したときに等式が成り立つなら、
その直線はその点を通る事になります。
例えばy = 3x + 2に適当な座標(x, y) = (1, 3)を代入すると、等号が成り立ちません。
この時「直線y = 3x + 2は点(1, 3)を通らない」という事が分かります。
y = 3x + 2に座標(x, y) = (2, 8)を代入すると、今度は等号が成り立ちます。
この時「直線y = 3x + 2は点(2, 8)を通る」と判断できます。

直線ax + by + c = 0と直線a'x + b'y + c' = 0の交点を(X, Y)とする時、
aX + bY + c = 0かつa'X + b'Y + c' = 0が同時に満たされます。

ここで、2直線の式を足した

(ax + by + c) + (a'x + b'y + c') = 0
（整理すると(a + a')x + (b + b')y + (c + c') = 0）

という直線の式を作ってみます。
この直線に(x, y) = (X, Y)を代入してみてください。
すると(aX + bY + c) = 0, (a'X + b'Y + c') = 0なので、
(aX + bY + c) + (a'X + b'Y + c') = 0
という等号が成立します。
よって(ax + by + c) + (a'x + b'y + c') = 0は
2直線の交点(x, y) = (X, Y)を通るという事が言えます。

ここで例えばこんな等式を作ってみます。

2(ax + by + c) + 3(a'x + b'y + c') = 0
（整理すると(2a + 3a')x + (2b + 3b')y + (2c + 3c') = 0）

この等式にも同じように(x, y) = (X, Y)を代入してみて下さい。
すると先ほどと同様の理由で、やはり等式が成り立ちます。
つまり「直線2(ax + by + c) + 3(a'x + b'y + c') = 0も点(X, Y)（2直線の交点）を通る」
という事が言えます。
これは9(ax + by + c) + 2(a'x + b'y + c') = 0や
(1/3)(ax + by + c) - 0.5(a'x + b'y + c') = 0や
-π(ax + by + c) - 1423(a'x + b'y + c') = 0にも言えることです。
つまりこれらの直線も「2直線の交点を通る直線」であるということになります。
一般化すると、
「m(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0という形の直線は、
必ず2直線の交点(X, Y)を通る」という事になります。
なので正しくは、
「2直線の交点を通る直線の式は、m(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0で表わされる」
です。

ただ直線の式は両辺を定数倍しても同じ直線を表します
（例えば2x - 3y + 3 = 0と4x - 6y + 6 = 0は同じ直線を表します）。
そこで先ほどのm(ax + by + c) + n(a'x + b'y + c') = 0の両辺をmで割って(1/m倍して)、
ax + by + c + (n/m)(a'x + b'y + c') = 0
とし、(n/m) = kとおいて
ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
と変形してみます。
こうすることで2つの文字式n, mを1つの文字式kで代用させることができます。
文字式が少ない方が式がすっきりしますよね。
高校数学の教科書、参考書ではこのすっきりした形が好まれているようです。
ただ、これだとm = 0の場合の直線が作れないという欠点があるんですけどね。

> そもそも、なぜ異なる２式を(＊)のように足すことができるのでしょうか??

等式であれば左辺同士、右辺同士を足す事に問題は無い気がします。
連立方程式の加減法による解法も、異なる等式2つを足していますよね。

お礼

回答ありがとうございました。

とてもわかりやすかったです！
助かりました！！

回答No.3

hugen

2x+3y+1=0　----- (1)
4x-y-19=0　----- (2)　の交点は
(1)+3(2)　より
(2x+3y+1)+3(4x-y-19)=0
14x-56=0
x=4　--------(3)
交点のｘ座標が 4 だから、方程式(3)の表わす直線は,(1) (2)の交点を通る。
つまり、(1)+3(2)＝0　は　(1) (2)の交点を通る。
-----------------------------------------
もし　(1)+2(2) 　をつくると
10x+y-37=0　---------- (3)
方程式　10X+Y-37=0　は直線を表わし,(3) から交点(x,y) をとおっている。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

banakona

＞わざわざ、(＊)のような式を立てる意味は何ですか??

こっちの方が簡単だから。「わざわざ」というけど、交点を求める方が面倒です。

＞また、なぜk倍しているのでしょうか??

１．どっちかを何倍かしないと、ax+by+c+a'x+b'y+c'=0　・・・（１）　という特定の直線を表すことになってしまう。たまたま（１）が求める方程式だったなんてウマイ話はないでしょう。
２．この式では、唯一、a'x+b'y+c'=0　　・・・（２）　は表せないけど、（２）にはならないという確証がどこかにあるのでしょう。

＞そもそも、なぜ異なる２式を(＊)のように足すことができるのでしょうか??

特に条件がなければ、足そうが掛けようが何をしてもかまいません。本件では「交点を通る直線」という条件があるので掛けるわけには行きませんが。

お礼

回答ありがとうございました。

もっともな指摘で、わかりやすかったです。