二曲線の交点を通る曲線群について

質問

直線 ax+by+c=0 と dx+ey+f=0 の交点を通る直線は

　p(ax+by+c)+q(dx+ey+f)=0

の形に書けるとあります。
この形が交点を通る直線の一部であることはわかりますが
この形以外にないことはどうしていえるのですか。
何か自明的な簡潔な考え方があるのでしょうか。
直線どうしなら必要十分条件を数式計算できそうですが
円と直線（または円）の交点を通る円の方程式の形となると
手に負えません。よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

「この形が交点を通る直線の一部である」方も、一応理由を書いておくと、

p(ax+by+c)+q(dx+ey+f)=0 … (1) とします。
交点の座標を (x1,y1) としたとき、a*x1 + b*y1 + c = 0, d*x1 + e*y1 + f = 0 だから、
(1)の左辺に、この交点の座標を代入すると、
p(ax+by+c) + q(dx+ey+f = p(a*x1 + b*y1 + c) + q(d*x1 + e*y1 + f) = 0 となり、
等式(1)が成立するから、(x1,y1) は、等式(1)が示す直線上の点である、ということですよね。

「この形以外にないことはどうしていえるのですか。」は、実に見事なツッコミポイントです。私が、数学の授業を担当していて、授業中、そうツッコんでくれたら、それだけで、平常点５点プラス^^。

余談はさておき、もっと正確にツッコむとすれば「この形だけで、どうして交点を通るすべての直線を表すことができるのですか？」こうツッコめていたら、自分で結論出せてたかもしれません。

では、(x1,y1)を通る直線全体を表そうと思ったら、どうしたらいいかというと、
y = s(x - x1) + y1 のような形では、y軸に平行な直線が表せず
s(x - x1) + t(y - y1) = 0 のような形で表さないといけないことは解りますね。
これを展開・整理すると、sx + ty = s*x1 + t*y1 です。

(1) も、展開・整理すると、(ap+dq)x + (bp+eq)y = -pc-qf

２つの式の左辺どうしを比べて、もし、ap+dq = s, bp+eq = t となるようなp,q があったとすれば、どちらも、(x1,y1)を通る以上、右辺どうしも同じになることは明らかです。数学的には、計算するまでもなく、そう言い切って構わないのですが、どうしても、気になれば、後から、計算して確認してみてください。

つまり、どんなs,tの組を与えられたとしても、上のp,qについての連立方程式が、解p,qを持つならば、(1)は(x1,y1)を通るあらゆる直線を表すことができる訳です。と、なれば、問題は、この連立方程式が解けるのかどうか、だけ。

ここで、ap+dq = s, bp+eq = t を、p軸・q軸を持つ座標平面での２つの直線だとみると、ほとんどの場合は、交点を持つ、つまり、連立方程式に解があることになります。

ほとんど、というのは、ダメな場合も、少しあって、完全に論外なのが、a=d=0のように、そもそも、直線の式になってない場合、それに、ap+dq = s, bp+eq = t が平行か一致してしまって、交点を持たない(または、共有点だらけ^^)の場合です。で、元の２直線の式をよくみると、そういう場合は、元の２直線のようにみえる式が、実は直線を表さない、または、２直線が平行か一致して、１つの交点を持つといえない場合になってしまいます。当然、こういうときは、「２直線の交点を通る」という前提自体が崩れているので、考える意味はありません。

つまり、考える意味のある状況では、必ず、解p,q が存在、よって、(1) は交点を通るあらゆる直線を表せる、という結論になる訳です。クドクドと書いていますが、解ってしまえば、ほとんど自明、という話ですよね。

ちなみに、円と直線の交点を通る円の場合は、p(円の式) + q(直線の式) = 0 (勿論どちらの式も、～=0の形)で、p = 0 にする訳にはいきません(円を表さなくなるから)。で、あれば、(円の式) + t(直線の式) = 0 (前の式の文字を使うと、t = q/p) と考えて十分、x^2,y^2の係数が１で、xyの項はないので、普通は２つの交点を通る円の式、普通でない場合というのは、そもそも直線と円が共有点を持たない場合は、円の式とならなくて(半径がプラスにならない)、接している場合は、接点を通るすべての円でなく、直線に接点で接するすべての円(計算しなくても、２交点がある場合から、想像できるでしょう)。

お礼

早々のご回答ありがとうございました。
ご説明の理解に少し時間がかかりましたが大変よくわかりました。
（一次独立の２つベクトルのようなれっきとした）交点をもつ
２直線である条件と、与えられた定数a,b,c,d,e,f,s,tと交点x1,y1に対し

　　　　sx + ty = s*x1 + t*y1
　　　　(ap+dq)x + (bp+eq)y = -pc-qf

のp,qの連立方程式 ap+dq = s, bp+eq = t がれっきとした一組の解をもつことと
同じなのですね。（bとdが入れ替わっていますが ae - bdでは同じ）。
また「どちらも、(x1,y1)を通る以上、右辺どうしも同じになること」
がポイントでかつ自明なこと、よくわかりました。
ありがとうございました。
（円の方は今考え中です。とりあえずお礼まで）。