円と放物線の問題の解法と条件
- 円と放物線の問題において、二つの曲線が接するための条件を求める。
- 解法として、円の方程式に放物線の方程式を代入し、式を変形する。
- 解答には16a^2-4ab+1=0の条件が現れるが、もう一つの条件1/4<|a|が出ない。詳しい解答を教えてほしい。
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円と放物線の問題
円x^2+y^2=4と放物線y=ax^2-bが二点で接するための、a,bの満たすべき条件を求めよ。 この問題をy^2=4-x^2を円の方程式に代入して４次方程式で考えなさいと書いてあるのでやったのですが、答えの一つ16a^2-4ab+1=0はでたのですが、もう一つの条件1/4<|a|がでません。どこで間違ったのでしょうか。教えてください。 このように解きました。 x^2+(ax^2-b)^2=4 a^2x^4+(1-2ab)x^2+(b^2-4)=0 ～式１ これは問題文の条件より a^2(x-α)^2(x-β)^2=0となるはずで ３次の係数が０より a^2(x-α)^2(x+α)^2=0 a^2(x^2-α^2)^2=0 これを式１と係数比較してさきほどの答えが出ました・ どこでもう一つの条件を見落としているのか、詳しく教えてください。どうぞよろしくお願いいたします！ となるはずで、
- ayakakaya
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以前、同じ質問をされているようですね。（参考URL） 適切な回答が付いているようですが、これでもまだ理解できないということでしょうか？ αは、円と放物線の接点のｘ座標になりますから、当然実数です。以前のNo.1の方がおっしゃっているように、この実数条件を見落とされています。 係数比較で 2a^2α^2 = 2ab-1 かつ a^2α^4 = b^2-4 まで来たところでそれぞれの式の左辺を見ましょう。 aも実数ですから、 a^2≧0, α^2≧0なので 2a^2α^2≧0 なので 2ab-1 ≧0 α^4 ももちろん≧0 ですから同様に b^2-4≧0 です。 これらの条件を見落とされているのです。 あとは、前の回答をもう一度、じっくり読んでください。 それでも分からなければ、どこが理解できないのか補足ください。
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