変動加重化で転がるボール

質問

お世話になります、
質問させてください。

変動荷重下では
どの様な坂が
最も早く転がり抜けますか?

と、いうのも先日
質量変動のない均一な球体は
サイクロイド曲線の坂で
最も早く走り抜ける
と、聞きました。

で、では
何かが流出して、質量が減る
等、
加重変動がある場合はどうなのか
気になったのです。

尚、仮に今回は
質量変動が
-aχ+bで、減少する
と、します。

お手数ですが、
中高数学レベルの知識で判るよう
お教え頂ければ幸いです。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

#1です。以下の説明は中高レベルではありません。また、質量変動しない場合です（普通の最速降下線：サイクロイド）。

　目的の曲線をy＝g(x)で表すとして、このg(x)は、x＝0～b，y＝0～y0の範囲にあるとします（添付図の左上のグラフ）。速度は「距離／速さ」です。曲線y＝g(x)上の微小距離dsを走り切る間、物体mの走行速度vは一定と考えて良いので「距離／速さ」はそのまま使えて、dsを走るのにかかる時間は、ds/vです。

　このds/vを、曲線y＝g(x)上の全てで集めて足してやれば、物体mが曲線上でx＝0～b（y＝0～y0）を走り切る時間になります。それが最初の、T＝∫ds/vの式の意味です（積分区間はx＝0～b）。

　しかしT＝∫ds/vと書いただけでは、dsもvも積分パラメータであるxと関連付けられていないので、このままでは何もできません。そこでy＝g(x)とエネルギー保存則を使います。

（添付図の左上のグラフ）y＝g(x)の微小距離dsを取り出すと、絵に描いたように、ds＝√(dx^2＋dy^2)です。dx^2を√の外に出すと、

　　ds＝√(1＋(dy/dx)^2)×dx

になりますが、dy/dxってg’(x)の事だよねってのが、添付図のds＝の式です。

　一方、一様重力場中のエネルギー保存則は、

　　1/2×mv^2＋mgy＝mgy0

です。mは物体の質量を表し、gは重力加速度、y0は物体がy＝y0から落ち出すという条件です。上記をv＝に直すと、

　　v＝√(2g(y0－y))

になりますが、y＝g(x)だったよねってのが、添付図のv＝の式です。添付図のds＝の式とv＝の式を、最初のT＝∫ds/vに代入すると、添付図の2番目のT＝の式です。2番目のT＝では、g(x)の具体的な形さえわかれば、Tは計算可能になっています。

　g(x)の具体的な形を求めるのが、最速降下線問題です。形を決める条件は、T最小です。

　そうするとベタに考えれば、添付図左下のグラフに示したように、点(0，y0)と(b，0)を通過する全ての曲線に総当たりして2番目のT＝を計算し、その中から最小のケースを選べば良いわけですが、そんな曲線は無数にあり、まぁ～無茶な注文です(^^;)。

　そこで点(0，y0)と(b，0)を通過する全ての曲線を番号付けする事を考えます。ただし曲線は無数にあるので、整数では数が足りないかも知れないので、実数aで番号付けします。例えば正解のg(x)はa＝0のg(x，0)と決めておき、他の曲線はg(x，a)で表します。

　この考えを2番目のT＝に適用すると、3番目のT(a)＝の式になります。ここでTはaの関数です。何故なら3番目の右辺で不定なのは（Tの変数になるのは）g(x)だけであり、他は全て固定の条件であり、g(x)の不定さは、番号パラメータaが表すからです。

　目的は、T(a)を最小にする事でした。T(a)は普通の関数です。だったらaで微分して0とおきゃ良いじゃないの、という話になります。無茶な注文が、なんとか取り扱い可能な範囲に入ってきました(^^)。

　ここで表現を多少一般化します。T(a)＝の右辺は一般に、f(g’，g)と書けるのはわかると思います。そうすると添付図の枠で囲った条件になります。枠の右辺のfの中のgを、g(x，a)の事だと思って多変数の微積の知識を駆使（？）すると、結局最後のdT/da⇔の右側の、一風変わった微分方程式が得られます。この変わった微分方程式を、オイラー・ラグランジュ方程式といい、変分法の基礎方程式です。

　オイラー・ラグランジュ方程式を正確に扱うためには、例えばd/dxと∂/∂gの微分の意味の違いなんかもわかってる必要があります。

　後は2番目のT＝の式に戻ってf(g’，g)の具体的形を与えてやり、ラグランジュ方程式を積分するだけですが、けっこう面倒です(^^;)。結果はもちろん、サイクロイドになります。

　もうお気づきと思いますが、v＝の式を作った時点で物体の質量mは消えますので、最速降下線は物体の質量によりません。またy＝y0でなく、サイクロイドの途中から物体をはなしてやっても、y＝0に達する時間は同じであることも示せます（最速降下線の等時性）。

　ちなみに質量がm＝-ax＋bのように走行中に変化する場合は、簡単にv＝の式を作れないので、運動方程式併用になります。

お礼

有難うございます、

済みません、此の場で異議を唱える
此を、お許し頂けますか?

補足

いや、失礼しました
やっぱり、もっと読み込んでからにします
細部迄判れるか、
此の点において、自信ないです

が、
噛み砕いた表現になるよう
徹して頂けたお陰ですね

式は別として、理論要点は、
ざっと見た範囲では
何とかなりそう
とも、思えます。

初等微積分の応用の応用の…
ですかね？

此と此…
だったらこうよね…
て、事ですよね

重ねて申します。
有難うございます。

また質問させてくださいね。

回答No.2

chiha2525_

私も数学的に示すことはできませんが、それが重力に寄らないことは（なんとなく）分かります。

最速降下曲線
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%9B%B2%E7%B7%9A

お礼

有難うございます、
お礼が遅れ申し訳ありません。

転がりや空気抵抗等、無視するとして
同型のサイクロイド曲線状を
対象外から見て同弾性、
しかし、
内容量により異質量、
其れ等を無数に用意した
と、して

此の何れもが
同時に転がり抜ける。

と、思っていい
の、ですか?

回答No.1

ddtddtddt

質量変化がない場合（サイクロイド）でも、中高数学レベルでの説明は難しいです。
　少なくとも、自分には出来ません。

お礼

左様ですか、
出来れば何とがお願いしたいのですが

ともあれご回答、有難うございます