最も左の数字が1で1桁目が3か7で他が0なら素数？

質問

まず3と7は素数ですよね？
13と17も素数ですよね？
103と107も恐らく素数だと思うんですよ。
1003と1007も恐らく素数ですよね？
このまま0の数を増やしても素数に成り続けますでしょうか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>103と107も恐らく素数だと思うんですよ。

両方とも素数ですね。

>1003と1007も恐らく素数ですよね？

両方とも素数ではないです。
1003 = 17*59
1007 = 19*53

>このまま0の数を増やしても素数に成り続けますでしょうか？
10003=7*1429
100007=97*1031
残念ながら仮説は成り立ちませんね。

お礼

回答ありがとうございます！
素数って奥深いですね！
暗号に使われる理由が分かった気がしました！

回答No.4

staratras

N0.2です。少し補足して説明しますと、No.2に示したことの種明かしは1001=7×11×13　という素因数分解です。

例えば6ケタで数字が10万の位からそれぞれa,b,c,d,e,fの整数N(=10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f)があるとします。

N=1000(100a+10b+c)+100d+10e+f=1001(100a+10b+c)+100d+10e+f-(100a+10b+c) つまり
N=7×11×13(100a+10b+c)+(100d+10e+f)-(100a+10b+c) が成り立つので、
Nが7,11,13でそれぞれ割り切れるのは、(100d+10e+f)-(100a+10b+c)が7,11,13で割り切れる場合に限られます。

これは6桁の場合だけでなく何桁でも同様で、以下の判定法が可能です。
(1)与えられた整数を下から3桁ごとに区切る
(2)区切った3桁の数を1つおきにまとめて2つのグループに分ける
(3)その2つのグループごとの数字の和を求める
(4)2つのグループの数字の差が7,11,13の倍数であれば元の整数も7,11,13の倍数である

例123456788の場合　123　456　788　→Aグループ123+788=911 Bグループ456
AとBの差　911-456=455　455÷7=65、455÷13=35、455÷11=41余り4
したがって123456788は7と13の倍数だが、11の倍数ではない。

ここでご質問に戻ると
（１）「100…3」型の整数の場合
0以外の数字は両端の1と3しかないので、各区切りの中で0以外となるのも両端だけです。具体的には１を含む方が、1、10、100のいずれかで、3を含む方は3の場合だけです。しかもそれが同じグループであれば両方の和になり、別のグループでは差になります。まとめると7,11,13の倍数となるのは、以下の2つの場合だけであることがわかります。11の倍数にはなり得ません。

（A)1を含む区切りが2桁の10で、3を含む区切りと別のグループの場合、(4)の差が7(=10-3)となるので7の倍数。（10^n)+3 でn=6m+4 の場合に相当します。

（B)1を含む区切りが2桁の10で、3を含む区切りと同じグループの場合、(4)の差が13(=10+3-0)となるので13の倍数。（10^n)+3 でn=6m+7 の場合に相当します。

（２）「100…7」型の整数の場合
同様に考えると1、10、100と7をどう組み合わせても7、11、13の倍数は作れないので、7、11、13の倍数にはなりません。

この型の整数は、末尾が5以外で各位の数字の和が8の奇数であるため2,3,5の倍数ではないことも明らかですから、素因数分解が可能な場合でも最小の因数は17以上となります。（13以下の素数で割っても役に立たないということです）

回答No.3

Water_5

1003=【１７】＊【５９】
1007＝【１９】＊【５３】

で素数でない。これ以降も素数でないことが
事例で示されてる。

しかし、それなら絶対に素数はないのかと言えば
その証明はないのではないか。

確かに素数は不思議だ。

回答No.2

staratras

ご質問の仮説が成り立たないことは、1003=17×59　1007=19×53　の反例で明らかですが、「100…3」型の整数については、以下のような興味深い規則性があります。

0を多数桁書くのは大変なので、N(n)=10^n+3 とします。N(n)は最初の桁が1で、その後0が(n-1)個続き、1の位が3の整数です。

このときN(4),N(10),N(16),N(22)…、つまりn=6m+4(mは負でない整数)のときN(n)はすべて7の倍数です。ちなみに
N(4)=7×1429
N(10)=7×1428571429
N(16)=7×1428571428571429
N(22)=7×1428571428571428571429
…
またN(7),N(13),N(19),N(25)…、つまりn=6m+7(mは負でない整数)のときN(n)はすべて13の倍数です。こちらは
N(7)=13×769231
N(13)=13×769230769231
N(19)=13×769230769230769231
N(25)=13×769230769230769230769231
…
このことは、3桁ずつ区切ってグループを作り、1つおきにグループの和を求めて、その2つの和の差によって7、13の倍数か否かを判定する方法から容易に示せます。

なお上の計算はN(n)が素数ではなく7や13の倍数であることを示しただけで、必ずしも完全な素因数分解ではありません。例えばN(13)=13×29×547×48492137