7桁の数字からの組み合わせ数は？

質問

数字の組み合わせの数がいくつあるかを調べたかったのですが、計算方法が分からなかったため質問させていただきます。

まず任意の7桁の数字を選びます。何でも良いのですが例えば「1234567」(A)とします。

0000001～9999999までの7桁の数字があるとして、(A)の数字と照らし合わせて、1つ数字が適合する数、2つ数字が適合する数、3つ数字が適合する数、4つ数字が適合する数、5つ数字が適合する数、6つ数字が適合する数、7つ数字が適合する数はそれぞれいくつになるでしょうか。

適合する際の数字の順番などは関係なく、例えば「0001000」であれば「1」が1つ適合しているとみなします。また、1つの数字は1つしか適合できないという条件です。「1100000」であれば、1は1回しか適合できないので、適合数は1となります。「2345671」であれば7つ適合していると見ます。

数学からだいぶ遠ざかっているため、計算する方法をお教えいただけると助かります。

質問が分かりにくいようでしたら、補足説明いたしますのでぜひよろしくお願いいたします。

回答No.6

yyssaa · ベストアンサー

（前の回答の続き）

４つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から４数字を選ぶ選び方は７Ｃ４＝３５通り・・・(1)
例えば数字７と６と５と４が適合する数字の数については以下の通り。
・７桁のうちの４桁に７と６と５と４を入れ、残り３桁に０と８と９
　を入れて出来る数字の数＝３５×２４×２７＝２２６８０・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から４桁を選ぶ選び方＝７Ｃ４＝３５通り
　７と６と５と４の並べ方＝４！＝２４通り
　０と８と９で３桁を作る作り方＝３＾３＝２７通り
・７桁のうちの５桁に７と６と５と４を入れ、残り２桁に０と８と９
　のうちの２数字を入れて出来る数字の数＝２１×４×６０×９
　＝４５３６０・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から５桁を選ぶ選び方＝７Ｃ５＝２１通り
　７と６と５と４から１数字を選ぶ選び方＝４Ｃ１＝４通り
　例えば７と６と５と４と４の並べ方＝５！/２＝６０通り
　０と８と９で２桁を作る作り方＝３＾２＝９通り
・７桁のうちの６桁に７と６と５と４を入れ、残り１桁に０と８と９
　のうちの１数字を入れて出来る数字の数
　＝７×(６×１８０＋４×１２０)×３＝３２７６０・・・(4)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　７と６と５と４から異なる２数字の組を作る作り方＝４Ｃ２
　＝６通り
　例えば７と６と５と４と５と４の並べ方＝６！/４＝１８０通り
　７と６と５と４から同じ２数字の組を作る作り方＝４通り　
　例えば７と６と５と４と７と７の並べ方＝６！/６＝１２０通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁の全てに７と６と５と４を入れて出来る数字の数
　＝４×６３０＋１２×４２０＋４×２１０＝８４００・・・(5)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７と６と５と４から異なる３数字の組を作る作り方＝４Ｃ３
　＝４通り
　例えば７と６と５と４と６と５と４の並べ方＝７！/８
　＝６３０通り
　７と６と５と４から同じ２数字と異なる１数字の組を作る作り方
　＝４×３＝１２通り
　例えば７と６と５と４と６と６と４の並べ方＝７！/１２
　＝４２０通り
　７と６と５と４から同じ３数字の組を作る作り方＝４通り
　例えば７と６と５と４と７と７と７の並べ方＝７！/２４
　＝２１０通り
以上から、４つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)＋(4)＋(5)｝＝３８２２０００

５つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から５数字を選ぶ選び方は７Ｃ５＝２１通り・・・(1)
例えば数字７と６と５と４と３が適合する数字の数については以下の
通り。
・７桁のうちの５桁に７と６と５と４と３を入れ、残り２桁に０と８
　と９のうちの２数字を入れて出来る数字の数＝２１×１２０×９
　＝２２６８０・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から５桁を選ぶ選び方＝７Ｃ５＝２１通り
　７と６と５と４と３の並べ方＝５！＝１２０通り
　０と８と９で２桁を作る作り方＝３＾２＝９通り
・７桁のうちの６桁に７と６と５と４と３を入れ、残り１桁に０と８
　と９のうちの１数字を入れて出来る数字の数＝７×５×３６０×３
　＝３７８００・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　７と６と５と４と３から１数字を選ぶ選び方＝５通り
　例えば７と６と５と４と３と４の並べ方＝３６０通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁の全てに７と６と５と４と３入れて出来る数字の数
　＝１０×１２６０＋５×８４０＝１６８００・・・(4)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７と６と５と４と３から異なる２数字の組を作る作り方＝５Ｃ２
　＝１０通り
　例えば７と６と５と４と３と５と４の並べ方＝７！/４
　＝１２６０通り
　７と６と５と４と３から同じ数字の組を作る作り方＝５通り
　例えば７と６と５と４と３と７と７の並べ方＝７！/６
　＝８４０通り
以上から、５つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)＋(4)｝＝１６２２８８０

６つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から６数字を選ぶ選び方は７Ｃ６＝７通り・・・(1)
例えば数字７と６と５と４と３と２が適合する数字の数については
以下の通り。
・７桁のうちの６桁に７と６と５と４と３と２を入れ、残り１桁に
　０と８と９のうちの１数字を入れて出来る数字の数
　＝７×７２０×３＝１５１２０・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　７と６と５と４と３と２の並べ方＝６！＝７２０通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁の全てに７と６と５と４と３と２を入れて出来る数字の数
　＝６×２５２０＝１５１２０・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７と６と５と４と３と２から１数字を選ぶ選び方＝６通り
　例えば７と６と５と４と３と２と４の並べ方＝７！/２
　＝２５２０通り
以上から、６つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)｝＝２１１６８０

７つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

１～７の数字の並べ方＝７！＝５０４０
以上から、７つの数字が適合する数字の数＝５０４０

以上を整理すると
1つ数字が適合する数：９９３７９
2つ数字が適合する数：９９８４２４
3つ数字が適合する数：３２３８４１０
4つ数字が適合する数：３８２２０００
5つ数字が適合する数：１６２２８８０
6つ数字が適合する数：２１１６８０
7つ数字が適合する数：５０４０

合計　９９９７８１３
これに１～７の数字が一つも入らない７桁の数字の数、すなわち
各桁が０か８か９の数字の数＝３＾７＝２１８７
を加えると１０００００００となります。
これは０００００００も７桁の数とみなしたためです。

回答No.5

yyssaa

０から９のいずれかの数字が７つ並んでいれば、それらを全て７桁の
数字とみなして回答します。
以下、１数字適合～７数字適合の各条件に合う数字を夫々いくつ作る
ことが出来るかを計算して、その結果を答えとします。

１つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から１数字を選ぶ選び方は７Ｃ１＝７通り・・・(1)
例えば数字３が適合する数字の数については以下の通り。
・７桁のうちの１桁に３を入れ、残り６桁に０と８と９を入れて出来
　る数字の数＝７×７２９＝５１０３・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から１桁を選ぶ選び方＝７Ｃ１＝７通り
　０と８と９で６桁を作る作り方＝３＾６＝７２９通り
・７桁のうちの２桁に３を入れ、残り５桁に０と８と９を入れて出来
　る数字の数＝２１×２４３＝５１０３・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から２桁を選ぶ選び方＝７Ｃ２＝２１通り
　０と８と９で５桁を作る作り方＝３＾５＝２４３通り
・７桁のうちの３桁に３を入れ、残り４桁に０と８と９を入れて出来
　る数字の数＝３５×８１＝２８３５・・・(4)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から３桁を選ぶ選び方＝７Ｃ３＝３５通り
　０と８と９で４桁を作る作り方＝３＾４＝８１通り
・７桁のうちの４桁に３を入れ、残り３桁に０と８と９を入れて出来
　る数字の数＝３５×２７＝９４５・・・(5)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から４桁を選ぶ選び方＝７Ｃ４＝３５通り
　０と８と９で３桁を作る作り方＝３＾３＝２７通り
・７桁のうちの５桁に３を入れ、残り２桁に０と８と９のうちの
　２数字を入れて出来る数字の数＝２１×９＝１８９・・・(6)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から５桁を選ぶ選び方＝７Ｃ５＝２１通り
　０と８と９で２桁を作る作り方＝３＾２＝９通り
・７桁のうちの６桁に３を入れ、残り１桁に０と８と９のうちの
　１数字を入れて出来る数字の数＝７×３＝２１・・・(7)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁全てが３の数字の数＝１・・・(8)
以上から、１つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)＋(4)＋(5)＋(6)＋(7)＋(8)｝＝９９３７９

２つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から２数字を選ぶ選び方は７Ｃ２＝２１通り・・・(1)
例えば数字７と６が適合する数字の数は以下の通り。
・７桁のうちの２桁に７と６を入れ、残り５桁に０と８と９を入れて
　出来る数字の数＝２１×２×２４３＝１０２０６・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から２桁を選ぶ選び方＝７Ｃ２＝２１通り
　７と６の並べ方＝２通り
　０と８と９で５桁を作る作り方＝３＾５＝２４３通り
・７桁のうちの３桁に７と６を入れ、残り４桁に０と８と９を入れて
　出来る数字の数＝３５×２×３×８１＝１７０１０・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から３桁を選ぶ選び方＝７Ｃ３＝３５通り
　７と６から1数字を選ぶ選び方＝２通り
　例えば７と６と６の並べ方＝３！/２＝３通り
　０と８と９で４桁を作る作り方＝３＾４＝８１通り
・７桁のうちの４桁に７と６を入れ、残り３桁に０と８と９を入れて
　出来る数字の数＝３５×（６＋４×２）×２７＝１３２３０・・・(4)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から４桁を選ぶ選び方＝７Ｃ４＝３５通り
　７と６から２数字の組を作る作り方は、７と７、６と６、７と６の
　３通り
　７と６と７と６の並べ方＝４！/４＝６通り
　７と６と６と６の並べ方＝４通り
　７と６と７と７の並べ方＝４通り
　０と８と９で３桁を作る作り方＝３＾３＝２７通り
・７桁のうちの５桁に７と６を入れ、残り２桁に０と８と９を入れて
　出来る数字の数＝２１×（２×５＋２×１０）×９
　＝５６７０・・・(5)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から５桁を選ぶ選び方＝７Ｃ５＝２１通り
　７と６から３数字の組を作る作り方は、３数字が同じ数字の組が
　２通り、２数字が同じ数字の組が２通り、計４通り
　例えば７と６と７と７と７の並べ方＝５！/４！＝５通り
　例えば７と６と７と６と６の並べ方＝５！/(３！×２！)
　＝１０通り
　０と８と９で２桁を作る作り方＝３＾２＝９通り
・７桁のうちの６桁に７と６を入れ、残り１桁に０と８と９を入れて
　出来る数字の数＝７×（２×６＋２×１５＋２０）×３
　＝１３０２・・・(6)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　７と６から４数字の組を作る作り方は、４数字が同じ数字の組が
　２通り、３数字が同じ数字の組が２通り、２数字が同じ組が１通り、
　計５通り
　例えば７と６と７と７と７と７の並べ方＝６！/５！＝６通り
　例えば７と６と７と７と７と６の並べ方＝６！/(４！×２！)
　＝１５通り
　７と６と７と７と６と６の並べ方＝６！/(３！×３！)＝２０通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁の全てに７と６を入れて出来る数字の数
　＝２×７＋２×２１＋２×３５＝１２６・・・(7)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７と６から５数字の組を作る作り方は、５数字が同じ数字の組が
　２通り、４数字が同じ数字の組が２通り、３数字が同じ組が２通り、
　計６通り
　例えば７と６と７と７と７と７と７の並べ方＝７！/６！＝７通り
　例えば７と６と７と７と７と７と６の並べ方＝７！/(５！×２！)
　＝２１通り
　例えば７と６と７と７と７と６と６の並べ方＝７！/(４！×３！)
　＝３５通り
以上から、２つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)＋(4) ＋(5)＋(6)＋(7)｝＝９９８４２４

３つの数字が適合する数字の数は以下の通り。

７数字から３数字を選ぶ選び方は７Ｃ３＝３５通り・・・(1)
例えば数字７と６と５が適合する数字の数については以下の通り。
・７桁のうちの３桁に７と６と５を入れ、残り４桁に０と８と９を
　入れて出来る数字の数＝３５×６×８１＝１７０１０・・・(2)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から３桁を選ぶ選び方＝７Ｃ３＝３５通り
　７と６と５の並び方＝３！＝６通り
　０と８と９で４桁を作る作り方＝３＾４＝８１通り
・７桁のうちの４桁に７と６と５を入れ、残り３桁に０と８と９を
　入れて出来る数字の数＝３５×３×１２×２７＝３４０２０・・・(3)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から４桁を選ぶ選び方＝７Ｃ４＝３５通り
　７と６と５から１数字を選ぶ選び方＝３Ｃ１＝３通り
　例えば７と６と５と５の並べ方＝４！/２＝１２通り
　０と８と９で３桁を作る作り方＝３＾３＝２７通り
・７桁のうちの５桁に７と６と５を入れ、残り２桁に０と８と９の
　うちの２数字を入れて出来る数字の数
　＝２１×(３×３０＋３×２０)×９＝２８３５０・・・(4)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から５桁を選ぶ選び方＝７Ｃ５＝２１通り
　７と６と５から異なる２数字の組を作る作り方＝３Ｃ２＝３通り
　例えば７と６と５と６と５の並べ方＝５！/４＝３０通り
　７と６と５から同じ２数字の組を作る作り方＝３通り　
　例えば７と６と５と５と５の並べ方＝５！/６＝２０通り
　０と８と９で２桁を作る作り方＝３＾２＝９通り
・７桁のうちの６桁に７と６と５を入れ、残り１桁に０と８と９の
　うちの１数字を入れて出来る数字の数
　＝７×(３×３０＋１×９０＋６×６０)×３＝１１３４０・・・(5)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７桁から６桁を選ぶ選び方＝７Ｃ６＝７通り
　７と６と５から３数字の組を作る作り方は、３数字が同じ数字の
　組が３通り、３数字が別の数字の組が１通り、２数字が同じで
　１数字が別の数字の組が（３C２）×２＝６通り、計１０通り
　例えば７と６と５と７と７と７の並べ方＝６！/４！＝３０通り
　７と６と５と７と６と５の並べ方＝６！/８＝９０通り
　例えば７と６と５と７と７と６の並べ方＝６！/（２×３！）
　＝６０通り
　０と８と９で１桁を作る作り方＝３通り
・７桁の全てに７と６と５を入れて出来る数字の数
　＝３×４２＋６×１０５＋３×２１０＋３×１４０
　＝１８０６・・・(6)
　(各数字の意味は以下の通り)
　７と６と５から４数字の組を作る作り方は、４数字が同じ数字の
　組が３通り、３数字が同じで１数字が別の数字の組が
　（３C２）×２＝６通り、２数字が同じで２数字が別の数字の組が
　３通り、２数字ずつ同じ数字の組＝３C２＝３通り、計１５通り
　例えば７と６と５と７と７と７と７の並べ方＝７！/５！
　＝４２通り
　例えば７と６と５と７と７と７と６の並べ方＝７！/（４！×２！）
　＝１０５通り
　例えば７と６と５と７と７と５と６の並べ方
　＝７！/（３！×２！×２！）＝２１０通り
　例えば７と６と５と７と７と６と６の並べ方＝７！/（３！×３！）
　＝１４０通り
以上から、３つの数字が適合する数字の数
＝(1)×｛(2)＋(3)＋(4) ＋(5)＋(6)｝＝３２３８４１０

４つの数字・・・以降は次の回答へ

回答No.4

yyssaa

問題文にある００００００１も７桁の数字とみなして試算したところ、
４つの数字が適合する数字の数は、３８２２０００となりました。
少し多過ぎるようでもあるので、検証した上で、全体について
後日回答したいと思います。

回答No.3

nag0720

任意の７桁の数字がダブり可で、順番が違っても適合とみなすとすると、
ダブり度合いによって適合数が変わってきます。

例えば、
「1234567」の場合は、7つ数字が適合する数は7!=5040通りありますが、
「1111111」の場合は、7つ数字が適合する数は１通りしかありません。
「1111112」なら7通り、「1111122」なら21通り、「1111123」なら42通りというように、
どのくらいダブっているかによって適合する数が違ってきます。

回答No.2

nag0720

0000001～9999999 だと計算できないので、0000000～9999999 とします。

1つも数字が適合しない数 ＝ 7C0 * 9^7 ＝ 4782969
1つ数字が適合する数 ＝ 7C1 * 9^6 ＝ 3720087
2つ数字が適合する数 ＝ 7C2 * 9^5 ＝ 1240029
3つ数字が適合する数 ＝ 7C3 * 9^4 ＝ 229635
4つ数字が適合する数 ＝ 7C4 * 9^3 ＝ 25515
5つ数字が適合する数 ＝ 7C5 * 9^2 ＝ 1701
6つ数字が適合する数 ＝ 7C6 * 9^1 ＝ 63
7つ数字が適合する数 ＝ 7C7 * 9^0 ＝ 1

全部足すと、10000000になります。

補足

ご回答どうもありがとうございます！
説明不足だったようで、7つ数字が適合する数の場合、順番が違っても適合とみなします。例えば(A)の「1234567」の場合、「1357246」でも7つの数字が適合しているとみなします。
何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

DIooggooID

任意の７桁の数字は、その構成要素にダブりがあっても良いのですか？

　※たとえば、　１１１１１１１
　　　　　　　　１１２２３３３　etc

補足

任意の７桁の数字は、構成要素のダブり可です。よろしくお願いいたします。