長期平均費用と長期限界費用が一致？

質問

• 企業の生産関数が与えられている。生産費用を最小化する最適な投入量を求める。
• 企業の長期費用関数を求める。
• 長期平均費用と長期限界費用を求めて図示する。

回答No.2

statecollege

No1ですが、一つだけ注意。
あなたの質問の中で、y*,Y*とy, Yに(*)印が付けられていますが、必要はありません。むしろ間違いです。
とくに、(2)においてC(Y)=2Y*√wrと書くと、右辺はある特定のYの値のY*にたいして成り立つように見えるので、Yがどんな値をとっても、Cは2Y*√wrで一定となりますが、それは正しくありません。
C(Y) = 2Y√wr
とするのが正しい。Yが増えると、CはYに比例して大きくなるが、平均費用C(Y)/Y=√wrは一定なのです。
あなたの書き方だと、平均費用はC(Y)/Y = (2Y*√wr)/Yとなり、Yが大きくなる平均費用はとどんどん小さくなってしまう！

あなたの質問のような生産関数Y=f(K,L)=K^1/2・L^1/2のような生産関数をコブダグラス型生産関数と呼びますが、この型の生産関数は、規模に関して収穫一定の生産関数、つまりNo1で書いたように
f(aK,aL)=af(K,L)
が成り立つ関数であることを確かめてください。つまり、すべての投入KとLをa倍し、aK, aLとすると、産出もf(K,L)からa倍のaf(K,L)になるのです。
一般に、規模に関して一定の生産関数のもとでは（コブダグラスにかぎらず）、（長期）平均費用は一定になるので（長期）限界費用も一定で、（長期）平均費用と等しくなりますが、これはつぎのように証明できます。
いま、Y=1（単位）を生産する最小費用生産要素の組を(K*,L*)と書こう。すると、
f(K*,L*) = 1
C(1) = rK* + wK*
となるのはよろしいでしょうか？いま、aを任意の値とし、KとLをそれぞれK*、L*のa倍にする、つまり
K = aK*、L = aL*
とする。すると、そのとき規模に関する収穫一定より
Y=f(aK*,aL*) = a
C(Y) = r(aK*) + w(aL*) = a(rK* + wL*) = aC(1)
と生産量も、費用もa倍になる。したがって、平均費用をAC(Y)、限界費用をMC(Y)と書くと
AC(Y) = C(Y)/Y = aC(1)/a = C(1)
C(Y) = C(1)Y
よって
MC(Y) = dC/dY = C'(Y) = C(1)
と
AC(Y) = MC(Y) = C(1)
が成り立つ。まとめると、生産関数が規模に関して一定に従うときは、平均費用も限界費用も一定で、かつ同じ値をとる。別の言葉でいうと、AC,MCを縦軸に、Yを横軸にとって表わすと、AC曲線も、MC曲線も、縦軸C(1)の値のところで水平の直線となる。

お礼

非常にわかりやすかったです。
今まで教科書を読んだだけの知識だったものが繋がりました。
ありがとうございます。