長期平均費用と長期限界費用が一致？

質問

ある企業の生産関数が
Y = f(L,K) = L^1/2K^1/2
で与えられている。ここで、Yは生産量、Lは労働投入量、Kは資本投入量である。
賃金率をw、資本のレンタル価格をrとする。
（１）生産量y(Yの小文字。Yとは別の定数)の生産費用を最小化する労働と資本の最適な投入量をそれぞれ求めなさい。
（２）この企業の長期費用関数を求めなさい。
（３）長期平均費用と長期限界費用を求め、図示しなさい。

という問題を解いたのですが、
（１）はラグランジュ乗数法を用いて解くと、
K = y*√w/r
L = y*√r/w
と求まりました。
（２）では、費用はC = wL + rKと表せることと（１）の答えを用いて、
C = wL + rKに、K = Y*√w/rとL = Y*√r/wを代入して、
C(Y) = 2Y*√wr
と求まりました。
しかし、これでは（３）の長期平均費用と長期限界費用が全く同じ関数になってしまい、図示しても完全に重なるように思います。

どこかでやり方を間違えたのでしょうか？
よろしければ、間違っている点を教えていただけないでしょうか。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

間違いではありません、それで正しいのです。
平均費用が生産量にかかわらず一定ということは、AC=C/Y=ｃ（ｃは定数）、C=ｃYより、限界費用MC=dC/dY = cとなり、限界費用もｃで、生産量にかかわらず一定かつ平均費用と同じ値となる。
縦軸にAC、MCをとり、横軸にYをとるなら、AC曲線も、MC曲線も縦軸のｃの値のところから水平な直線となって、一致する。
この問題の生産関数はコブ・ダグラス型の生産関数といいますが、コブ・ダグラス型の生産関数だけでなく、より一般的にはY=ｆ（K、L）が規模に関して一定の条件に従う生産関数なら、（長期）平均費用＝（長期）限界費用＝一定（Yにかかわらわらず）となります。
なお、規模に関する一定とは、aを任意の正の実数として、f(aK,aL)= af(K,L)が成り立つときをいい、数学的には１次同次の関数といいます。

お礼

コブ・ダグラス型生産関数と規模に関して収穫一定や1次同次というものについては勉強していましたが、それと結びついていませんでした。
実際に計算して確認できたことで、より理解が深まった気がします。
丁寧に教えていただき、ありがとうございました！

回答No.2

statecollege

No1ですが、一つだけ注意。
あなたの質問の中で、y*,Y*とy, Yに(*)印が付けられていますが、必要はありません。むしろ間違いです。
とくに、(2)においてC(Y)=2Y*√wrと書くと、右辺はある特定のYの値のY*にたいして成り立つように見えるので、Yがどんな値をとっても、Cは2Y*√wrで一定となりますが、それは正しくありません。
C(Y) = 2Y√wr
とするのが正しい。Yが増えると、CはYに比例して大きくなるが、平均費用C(Y)/Y=√wrは一定なのです。
あなたの書き方だと、平均費用はC(Y)/Y = (2Y*√wr)/Yとなり、Yが大きくなる平均費用はとどんどん小さくなってしまう！

あなたの質問のような生産関数Y=f(K,L)=K^1/2・L^1/2のような生産関数をコブダグラス型生産関数と呼びますが、この型の生産関数は、規模に関して収穫一定の生産関数、つまりNo1で書いたように
f(aK,aL)=af(K,L)
が成り立つ関数であることを確かめてください。つまり、すべての投入KとLをa倍し、aK, aLとすると、産出もf(K,L)からa倍のaf(K,L)になるのです。
一般に、規模に関して一定の生産関数のもとでは（コブダグラスにかぎらず）、（長期）平均費用は一定になるので（長期）限界費用も一定で、（長期）平均費用と等しくなりますが、これはつぎのように証明できます。
いま、Y=1（単位）を生産する最小費用生産要素の組を(K*,L*)と書こう。すると、
f(K*,L*) = 1
C(1) = rK* + wK*
となるのはよろしいでしょうか？いま、aを任意の値とし、KとLをそれぞれK*、L*のa倍にする、つまり
K = aK*、L = aL*
とする。すると、そのとき規模に関する収穫一定より
Y=f(aK*,aL*) = a
C(Y) = r(aK*) + w(aL*) = a(rK* + wL*) = aC(1)
と生産量も、費用もa倍になる。したがって、平均費用をAC(Y)、限界費用をMC(Y)と書くと
AC(Y) = C(Y)/Y = aC(1)/a = C(1)
C(Y) = C(1)Y
よって
MC(Y) = dC/dY = C'(Y) = C(1)
と
AC(Y) = MC(Y) = C(1)
が成り立つ。まとめると、生産関数が規模に関して一定に従うときは、平均費用も限界費用も一定で、かつ同じ値をとる。別の言葉でいうと、AC,MCを縦軸に、Yを横軸にとって表わすと、AC曲線も、MC曲線も、縦軸C(1)の値のところで水平の直線となる。

お礼

非常にわかりやすかったです。
今まで教科書を読んだだけの知識だったものが繋がりました。
ありがとうございます。