3点を通る円は一意的に決まるか。証明せよ。

質問

3点を通る円は一意的に決まるか。証明せよ。

回答No.1

noname#222520 · ベストアンサー

円が決まる条件は、中心（の座標）と半径（の長さ）が与えられることの2点である。

異なる2点AとBを考え、この2点が同一円周上にあるとする。
線分ABの垂直二等分線を引き、線分ABとこの垂直二等分線の交点をH、この垂直二等分線上の任意の点をPとすると、
直角三角形PAHと直角三角形PBHにおいて、AH=BH、PHは共通、∠PHA=∠PHB=90°
よって、直角三角形PAHと直角三角形PBHは、2辺とその間の角がそれぞれ等しく合同であり、対応する辺の長さは等しく、PA=PB

第三の点Cを考え、同様に線分ACの垂直二等分線を引き、この垂直二等分線上の任意の点をQとすると、QA=QC

以上から、線分ABの垂直二等分線と線分ACの垂直二等分線の交点をOとすると、OA=OB=OCとなり、この点Oが円の中心、半径はOA=OB=OCとなって、円は一意的に決まる。

回答No.6

noname#221368

#5です。いやぁ～、ごちゃごちゃ書きましたが#3さんがお薦めめなのに気づきました(^^;)。

　#3さんの結論と、「円の定義」を合体させると？・・・(^^)。

回答No.5

noname#221368

こういうどう考えても当然の事は逆に証明が難しいのですが、当然と思える根拠をごり押しして表現すると、話が早い気がします。

［ごりごりの定性論］
　まず「円の定義」に戻ります。円とは「一定点から等距離にある点の集合」の事。一定点をAとし、等距離をrとします。この条件を満たす円をSとします。

　Aから距離rに点Bを取ります。「円の定義」からBは、S上にあります。同様にAから距離rに別の点Cを取ります。CもS上にあります。

　2辺挟角から、S上にあるB，Cの位置を定めれば、等辺（AB＝AC）の長さrの不定性を除いてAの位置は、S上にあるB，Cの位置から決定できるので、B，Cを設ける事は、円の中心Aを定める事と同等です。

　次に△CADが2等辺三角形で、AC＝ADになるように点Dを取ります。これは明らかに可能です。

　一般に、AD＝ACだからと言ってAC＝ABになるとは限りませんが、AC＝ABという条件が先に付いているので、AD＝AC＝ABであり、DのAからの距離は、B，Cの位置を決めれば一意にrと決まります。

　これは距離rを定めた事と同等です。またDは明らかにS上にあります。従って、3点を通る円は一意に決まります。

　以上はかなり省略してます。もし質問が学校の問題であれば、上記だけではたぶん×を食らうでしょう(^^;)。行間は埋めて下さい。

［ごりごりの計算で・・・(^^;)］
　円の方程式が、

　　(x－a)^2＋(y－b)^2＝r^2　　　(1)

というのはご存知ですよね？。(1)で不定なのは、円の中心座標(a，b)と半径rです。つまり未知数が3つなら、条件が3つあれば、a，b，rは決定可能です。

　(1)の円周上に点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)があったとして、(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)を(1)に代入して、3元連立2次方程式をa，b，rについて解き、a，b，rをx1，y1，x2，y2，x3，y3で表した時に、その表現が一意的なら、それが答えです。

　もちろん非常に面倒臭い計算になり、非常に面倒臭い場合分けが出現するかも知れませんが、基本は2次方程式なので、やりゃ～必ず出来ます(^^;)。

回答No.4

noname#222520

ANo.1の補足です。

回答中に、「線分ABの垂直二等分線と線分ACの垂直二等分線の交点をOとすると」とあるように、交点Oが存在する、つまりは3点が一直線上にはないという前提で回答しています。
質問の趣旨からも、これは常識に判断できるでしょう。
質問には「3点を通る円」とあって、円として考えることが前提です。

回答No.3

178-tall

>3点を通る円は一意的に決まるか…

3 点が相異なるとして … 一直線上になければ？

その 3 点を頂点とする三角形の外心は、3 点から等距離にある。
つまり、三角形の外接円の中心はその外心。

… だとすると？

回答No.2

info222_

一意的に決まりません。

３点の内、少なくとも２点が一致すれば、半径が一意的に決まらないので、
円が一意的に決まりません。

３点が異なる点であっても、３点が一直線上にあるときは、円の半径や円の中心が決まらないので、円が一意的に決まりません。

補足

この問題は場合分けによる回答を求めているようです。