ローラン級数の一意性の証明

質問

「ローラン級数は一意的に定められる」という定理を見つけましたが、
その証明の方法がわかりません。

わかる方、教えて頂けないでしょうか。
（べき級数の一意性の定理の証明は下記リンク先でわかりました）
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node9.html

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

一意性の証明だけ・・・
Σでνは－∞から∞ですが，略記しています。級数の収束は前提とします。

f(z)=Σa(ν)(z-a)^ν　となんらかの方法で展開されたとすると
(1/2πi)∫(f(z)/(z-a)^(n+1))dz=(1/2πi)∫{Σ(a(ν)(z-a)^ν/(z-a)^(n+1))}dz
=(1/2πi)Σ∫{(a(ν)(z-a)^ν/(z-a)^(n+1))}dz=a(n)
なんとなれば，一般に∫(z-a)^mdz=0 (m≠-1), 2πi (m=-1) なので，
項別積分は，ν=nで2πi　，他は0になるから。
もちろん，先頭の(1/2πi)∫(f(z)/(z-a)^(n+1))dz　はLaurent展開の(z-a)^n の係数です。

おおまかなことしか書けなくて申し訳ありませんが，何かこのような証明だったとおもいます。参考まで。

お礼

ご回答ありがとうございます。

あなたの回答と、こちら（http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function-2010/koukainote.pdf）の38～39ページの説明から、
ローラン級数の一意性の証明方法を理解することができました。

ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

F1(x) と -F2(x) を、それぞれ解析接続して、
x→0 での極限を考えれば、一致しないことが
解かりますよ。

お礼

再回答ありがとうございます。

なるほど…、解析接続して証明する方法もあるのですね。
ただ、私が解析接続を理解していないので、
勉強して確認してみます。

回答No.2

alice_44

両側冪級数 f(x) = Σ[k=-∞～+∞] a(k) x^k が、ある x で収束したとすると、
二重極限の収束性の定義より、k→-∞ 部分と k→+∞ 部分を分けた二つの級数
g(x) = Σ[k=-∞～-1] a(k) x^k と h(x) = Σ[k=0～+∞] a(k) x^k は、共に
収束しなければなりません。特に g(x) の収束については、
冪級数 G(u) = Σ[k=1～+∞] a(-k) u^k を考え、これが u = 1/x について
収束することと同値です。まとめると、f(x) が収束するならば、
G(1/x) と h(x) が収束して f(x) = G(1/x) + h(x) であることになります。
G(u) と h(x) は冪級数ですから、収束域内の x については、広義一様収束します。
よって、f(x) の収束も広義一様であることが解ります。
一様収束する級数は、項別に和や差をつくったり極限をとったりすることが可能です。
f(x) = Σ[k=-∞～+∞] a(k) x^k と F(x) = Σ[k=-∞～+∞] A(k) x^k とが
ある範囲の x について一致するならば、その範囲の x において
0 ≡ f(x) - F(x) = Σ[k=-∞～+∞] { a(k) - A(k) } x^k が成り立つことになります。
これにより、ローラン展開は一意か？という問題は、定数列 0 ではない数列 c(k) で
Σ[k=-∞～+∞] c(k) x^k ≡ 0 となるものがあるか？という問題に置き換えられます。

ここで改めて、Σ[k=-∞～+∞] c(k) x^k = F(x) = F1(x) + F2(x),
F1(x) = Σ[k=-∞～-1] c(k) x^k, F2(x) = Σ[k=0～+∞] c(k) x^k と置きます。
F(x) ≡ 0 であれば F1(x) ≡ -F2(x) ですが、-F2(x) は x = 0 で正則、
F1(x) は x = 0 が特異点ですから、この二つの関数は一致し得ません。
したがって、二つの異なる両側冪級数が同じ関数を表すことはあり得ません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ただ、この証明方法の場合、
F(x)を「x=0を除いた領域上の関数」と定義すると、
F1(x) ≠ -F2(x)　を証明できていないと思うのですが、
如何でしょうか。