級数の微分について

質問

以下の条件の際の f(1) の場合の値を求めたいと思います。
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y = f(x) = Σ{n=0→∞}Cn・x^n　…(1)
y' = x^2・y　　　　　　　　　　…(2)
y(0) = 1　　　　　　　　　　　 …(3)
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y の n=0～3 の値は、(1) より C0, C1・x, C2・x^2, C3・x^3　…(4)
上記より C0 = 1 および y' の値は (4) を微分して、0, C1, C2・2x, C3・3x^2
よって (f(x))' = x^2・y はそれぞれ、C1 = x^2・C0, C2・2x = x^2・C1・x, C3・3x^2 = x^2・C2・x^2
整理して、C1 = x^2, C2 = 1/2・x^4, C3 = 1/6・x^6
まとめると、C(n)=1/n!・x^(2n)
ゆえに、y = Σ{n=0→∞}(1/n!・x^(3n)) = e^(x^3)　…(5)

一方、(2) を直接積分すると、(1/y)dy=(x^2)dx より積分定数を C として y = C・e^((x^3)/3)　…(6)

質問１
(5) と (6) は一致するはずですが、しません。
おそらく (5) を得る途中で間違っていると思うのですが、誤りをご指摘下さい。

質問２
y' を導出する際に参考書やネットの記事では (1) の式を直接以下のよう書いています。
y' = Σ{n=1→∞}Cn・n・x^(n-1)
これは (4) を微分した際の定数項(C0の部分)を除外した表現と理解してよいでしょうか。

久方ぶりに駆け足でお勉強しているため基礎的な部分が欠け落ちているらしく、
振り返ってみると上のような基礎的と思われる部分を説明出来ないことがあります。
今回もしばらく考えていたのですが、自己解決出来ませんでした。
ご教示いただけると幸いです。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

y=f(x)=Σ_{n=0→∞}C_n・x^n…(1)
y'=x^2・y…(2)
y(0)=1…(3)
(1)を微分すると
y'=Σ_{n=1→∞}nC_n・x^{n-1}
y'=Σ_{n=0→∞}(n+1)C_(n+1)・x^n
y'=C1+2C2x+Σ_{n=2→∞}(n+1)C_(n+1)・x^n…(4)
(3)より
C_0=1
(2)より
y'=Σ_{n=0→∞}C_n・x^{n+2}
y'=Σ_{n=2→∞}C_(n-2)・x^n
これ=(4)だから
C_1+2C_2x+Σ_{n=2→∞}(n+1)・C_(n+1)・x^n
=Σ_{n=2→∞}C_(n-2)・x^n
だから
C_1=0
C_2=0
n≧2に対して
(n+1)C_(n+1)=C_(n-2)
C_(n+1)=C_(n-2)/(n+1)…(5)
となる
P(n)=[C_(3n)={(1/3)^n}/n!,C_(3n+1)=0,C_(3n+2)=0}…(6)
とする
C_0=1,C_1=0,C_2=0
だから
P(0)は真となる
ある非負整数nに対してP(n)が真と仮定すると
(5)から
C_{3(n+1)}=C_(3n+3)=C_(3n)/{3(n+1)}
C_{3(n+1)+1}=C_(3n+4)=C_(3n+1)/(3n+4)
C_{3(n+1)+2}=C_(3n+5)=C_(3n+2)/(3n+5)
↓(6)が真から
C_{3(n+1)}={(1/3)^n}/n!/{3(n+1)}=[(1/3)^{n+1}]/(n+1)!
C_{3(n+1)+1}=0
C_{3(n+1)+2}=0
P(n+1)が真となるから
全ての非負整数nに対してP(n)が真
C_(3n)={(1/3)^n}/n!
C_(3n+1)=0
C_(3n+2)=0
となるから
y=Σ_{n=0～∞}{(1/3)^n}x^{3n}/n!
y=Σ_{n=0～∞}{(x^3/3)^n}/n!
∴
y=e^{x^3/3}

(f(x))'とx^2・y の多項式の係数を比較している所で
C1 = x^2・C0,C2・2x = x^2・C1・x,C3・3x^2 = x^2・C2・x^2
としているのが間違いです
xの多項式が一致する時はxの同次数の係数が一致しなければなりません
(f(x))'の定数項はC_1だけれども
x^2・y の定数項は0なので
C_1=0
(f(x))'のxの1次項は2C_2だけれども
x^2・y のxの1次項は0なので
2C_2・x=0
C_2=0
(f(x))'のx^2項は3C_3だけれども
x^2・y のx^2項はC_0=1なので
3C_3・x^2=C_0・x^2=x^2
3C_3=1
C_3=1/3

お礼

なるほど。基本的なところを分かっていなかったようです。
どうもテキストの例をなぞっていただけだったらしく。
大変分かりやすい解説をありがとうございました。
週末にでももう一度最初から解き直してみます。今度は出来ると思います。

回答No.1

bran111

y = C・e^((x^3)/3)　…(6)
が(3)を満たすためにC=1、ゆえに
y=e^((x^3)/3)=1+x^3/3+(1/2!)(x^3/3)^2+(1/3!)(x^3/3)^3+..=1+x^3/3+x^6/6+x^9/164+...
になるべきです。よって
C0=1, C=C2=0,C3=1/3,C4=C5=0,C6=1/6,C'=C8=0,C9=1/162,....
となるはずです。それに合っていないのでしょう。

お礼

合っていませんでしたね。。
もう一方の方のご説明が分かりやすかったのでベストアンサーはそちらに付けさせていただきますが、また困った際にはご助言を頂けると嬉しく思います。ありがとうございました。