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微分積分
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f(x)のaの近傍でのn次テーラー展開 f(a+h)=Σ_{k=0～n-1}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{n'}(a+θh)h^n/n!,(0<θ<1) とf(x)のaの近傍での(n+1)次テーラー展開 f(a+h)=Σ_{k=0～n}f^{k'}(a)h^k/k!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)!,(0<t<1) は等しいから f^{n'}(a+θh)h^n/n!=f^{n'}(a)h^n/n!+f^{(n+1)'}(a+th)h^{n+1}/(n+1)! f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)…(1) f^{n'}(x)のaの近傍での1次テーラー展開から f^{n'}(a+θh)=f^{n'}(a)+θhf^{(n+1)'}(a+sθh),(0<s<1) これ=(1)から f^{(n+1)'}(a+th)h/(n+1)=θhf^{(n+1)'}(a+sθh) f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=θf^{(n+1)'}(a+sθh) lim_{h→0}f^{(n+1)'}(a+th)/(n+1)=lim_{h→0}θf^{(n+1)'}(a+sθh) ↓ f^{(n+1)'}(a)/(n+1)=(lim_{h→0}θ)f^{(n+1)'}(a) ↓ lim_{h→0}θ=1/(n+1)
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