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確率の問題
noname#598の回答
私も直感ではｎ^2/Ｎなのではないかと思ってはいるのですけど… （m回やったときの期待値は n^m/N ？？？？） >taropooさんへ 帰納法で示すということは、全てのｎで成り立つことを示すということですよね。 明らかにＮ<ｎとなったときはまずいんですから、 帰納法以外の方法をとるべきだと思いますがどうでしょう？ 自信がないまま、単純なことから発生した疑問ですが… また、具体的なやつで考えたんですけど、 P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k)/NCn Ｎ＝１１、ｎ＝７ とすると、ｋ＝０のときに 7C0*4C7となり公式に不具合が生じます。 実は、Ｎ－ｎ＜ｎ－ｋも含むので、この部分では０ですから、 ｋ＜２ｎ－Ｎ のときは確率０です。 だから、正確な一般公式は、 ｋ＝０からではなく、ｋ＝MAX（２ｎ－Ｎ，０）からだと思います。 起きうる範囲では、この公式は成立するので、 これは使わせてください。 NCnはkによらない定数なので、後でまとめて割ることにします。 本論では３００と２０の関係から、上のような不具合は生じません。 さて、問題の設定をとっても簡単にしてみます。 では、話を簡単にしてN=11、ｎ＝4 のときをやってみます。 後でまとめてNCn＝11Ｃ4＝330で割ることにします。 ｋ＝０ のとき、分子＝4C0*7C4＝３５ ｋ＝１ のとき、分子＝4C1*7C3＝１４０ ｋ＝２ のとき、分子＝4C2*7C2＝１２６ ｋ＝３ のとき、分子＝4C3*7C1＝２８ ｋ＝４ のとき、分子＝4C4*7C0＝１ さてさて、ここからが工夫のしどころで、 １＋２８＋１２６＋１４０＋３５＝３３０＝11Ｃ４ （一般でもこの工夫はできるようです。） 期待値ですが、４＊１＋３＊２８＋２＊１２６＋１４０ これを、次のように分解します。 １＋２８＋１２６＋１４０ １＋２８＋１２６ １＋２８ １ 以上の和 １＋１＋２８＝３０より、１＋２８＋１２６から５を借りて １＋２８＋１２６＋１４０＋３５＝３３０ ←きっとこれを使うのではないかと思う。 １＋２８＋１２１＝１５０ よって、求める期待値は １＋150／330＝１＋５／11＝16／11 ｎ^２／Ｎは、Ｎ＝１１、ｎ＝４でも成り立ちます。 上のような工夫をすれば、できるんじゃないかと思いますが、 昼休みが終わってしまうのでこの辺で。 正しいことですか・・・難しいなあ・・・
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