2進数表現

質問

負数を表すのに2の補数を用いる16ビットの2進数表現(固定小数点)について次のことについて教えてください。

1．表現できる正の最大数を2進数、10進数で表すとどうなるか。

2．表現できる最小の負数(絶対値が最大の負数)を2進数、10進数で表すとどうなるか。

この2つの問題なのですが、どう考えればいいのでしょうか？題意の負数を表すのに2の補数を用いる16ビットの2進数表現(固定小数点)からあまり意味が分かっていないのですが…

よろしければ答えだけではなく考え方も教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

info222_

>題意の負数を表すのに2の補数を用いる16ビットの2進数表現(固定小数点)からあまり意味が分かっていない

16ビット2の補数法による2進数の表現と10進数の対応は以下のようになります。

16ビット２の補数法　10進法
0111 1111 1111 1111 ... +2^15-1=+32767
0111 1111 1111 1110 ... +2^15-2=+32766
0111 1111 1111 1101 ... +2^15-3=+32765
.....
0000 0000 0000 0100 ... +4
0000 0000 0000 0011 ... +3
0000 0000 0000 0010 ... +2
0000 0000 0000 0001 ... +1
0000 0000 0000 0000 ... 0
1111 1111 1111 1111 ... -1
1111 1111 1111 1110 ...-2
1111 1111 1111 1101 ... -3
1111 1111 1111 1100 ... -4
.....
1000 0000 0000 0010 ... -2^15+2=-32766
1000 0000 0000 0001 ... -2^15+1=-32767
1000 0000 0000 0000 ... -2^15=-32768

>1．表現できる正の最大数を2進数、10進数で表すとどうなるか。
正の最大数の2進数=0111 1111 1111 1111
10進数に直せば =+2^15-1=+32767

>2．表現できる最小の負数(絶対値が最大の負数)を2進数、10進数で表すとどうなるか。
最小の負数(絶対値が最大の負数)を2進数=1000 0000 0000 0000
10進数に直せば ＝ -2^15=-32768

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.3

chie65535

別の考え方。

符号が無い１６ビットで、以下の計算をすると、ビットが溢れて、どれも答えは０です。

1111111111111100＋0000000000000100＝0000000000000000
1111111111111101＋0000000000000011＝0000000000000000
1111111111111110＋0000000000000010＝0000000000000000
1111111111111111＋0000000000000001＝0000000000000000

10進数に直した時「足して０になる」のですから、上から順に

-4+4＝0
-3+3＝0
-2+2＝0
-1+1＝0

になります。

符号が無い１６ビットで計算していた筈ですが、実は「マイナスとプラスの足し算」だったのです。

つまり「２進数で1111111111111100は、10進数で-4だった」のです。

出てきた数を０を中心に並べ直すと
　　　　↑
1111111111111100　-4
1111111111111101　-3
1111111111111110　-2
1111111111111111　-1
0000000000000000　0
0000000000000001　1
0000000000000010　2
0000000000000011　3
0000000000000100　4
　　　　↓
になります。

上記の表は「最上位ビットは符号ビット」と言う「お約束」に従っていますね？

ここで、１６ビットではなく「３ビット」で考えてみます。

上の表から、下３ビットだけ残して、上のビットを削ってみます。

100　-4
101　-3
110　-2
111　-1
000　0
001　1
010　2
011　3
100　4

「100」だけ「-4と4が同じ」になります。

ここで「最上位ビットは符号ビット」と言う「お約束」を思い出して下さい。「100　4」は「お約束に従ってない」ので、表から外します。

すると、３ビットの表は

100　-4
101　-3
110　-2
111　-1
000　0
001　1
010　2
011　3

になります。

更に１ビット削って２ビットの範囲に絞り「お約束」に従っている物だけに絞ると、最終的に

10　-2
11　-1
00　0
01　1

になります。

逆に、４ビットにすると

1000　-8
1001　-7
1010　-6
1011　-5
1100　-4
1101　-3
1110　-2
1111　-1
0000　0
0001　1
0010　2
0011　3
0100　4
0101　5
0110　6
0111　7

となります。

それぞれの「２ビットの表」「３ビットの表」「４ビットの表」で「一番上と一番下」が「負の最小値」と「正の最大値」になります。

２ビットの表
10　-2　負の最小
01　1　正の最大

３ビットの表
100　-4　負の最小
011　3　正の最大

４ビットの表
1000　-8　負の最小
0111　7　正の最大

ここで、それぞれの最小、最大の値を、良く見て下さい。

負の最小は、－（２の（ビット数-1）乗）、になっています。

正の最大は、（２の（ビット数-1）乗）－１、になっています。

１６ビットだと

負の最小＝－（２の（16-1）乗）＝－（２の15乗）＝－32768

正の最大＝（２の（16-1）乗）－１＝（２の15乗）－１＝32767

になります。

これは、何ビットの時でも同じです。

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.2

chie65535

＞1．表現できる正の最大数を2進数、10進数で表すとどうなるか。

２の補数を用いた２進数表現では、一番上のビット（MSB、最上位ビット）を「符号ビット」に使います。

一番上のビットが０なら０または正数、一番上のビットが１なら負数、と決めます。

１６ビットで表現できる正の最大値は「符号ビットが０で、それ以外がすべて１」です。

「符号ビット以外が全部１」なら、もう、それ以上大きくなれません（それ以上１を足せない）から「正の最大値」です。

つまり、２進数で「0 111111111111111」ですから、１０進数で、32767です。

＞2．表現できる最小の負数(絶対値が最大の負数)を2進数、10進数で表すとどうなるか。

１６ビットで表現できる負の最小値は「符号ビットが１で、それ以外がすべて０」です。

「符号ビット以外が全部０」なら、もう、それ以上小さくなれません（それ以上１を引けない）から「負の最小値」です。

つまり、２進数で「1 000000000000000」です。

これを「１０進数にする時」は「-1から、1を何回引けるか？」で考えます。

「-1」は「負の数の中の、最大の値」ですから「符号ビットが１で、それ以外がすべて１」です。

「符号ビット以外が全部１」なら、もう、それ以上大きくなれません（それ以上１を足せない）から「負の最大値」です。

つまり「-1」は「1 111111111111111」です。

「-1から、1を何回引けるか？」は「-1から、その値を引いてしまう」と求まります。

　1 111111111111111
-) 1 000000000000000
-------------------------------
　　111111111111111

と言う計算で「２進数で111111111111111回、１を引ける」と判ります。

２進数で111111111111111は「1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096+16384」なので、32767です。

つまり「２進数で1 000000000000000」は「-1から、1を32767回引いた数」です。

１０進数で計算すると「-1-（1×32767）＝-1-32767＝-32768」です。

なので

2進数で1 000000000000000
10進数で-32768

が答えです。

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。

回答No.1

f272

2の補数による符号つきで考えると16ビットで
最大なのは0111111111111111（最上位が0であとはすべて1）
最小なのは1000000000000000（最上位が1であとはすべて0）
です。10進で表現すれば
最大なのは2^15-1=32767
最小なのは-2^15=-32768
です。全部で32767-(32768)+1=2^16=65536個の数値が表現できます。

お礼

回答ありがとうございました。お礼が遅くなり申し訳ないです。
これからもよろしくお願いします。