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大学の数学 点集合基礎
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Xを距離空間 dをその距離 a∈X ε>0 U_ε(a)={x∈X|d(x,a)<ε} とする A⊂X 点aが集合Aの内点で U_ε(a)⊂A となる U_ε(a) の各点を b とする ------------------------------→(注1) b∈U_ε(a)={x∈X|d(x,a)<ε} だから d(b,a)<ε だから 0<ε-d(b,a) だから δ=ε-d(b,a) とすると δ>0 だから ------------------------------→(注2) x∈U_δ(b) とすると d(x,b)<δ d(x,a)≦d(x,b)+d(b,a)<δ+d(b,a)=ε-d(b,a)+d(b,a)=ε だから x∈U_ε(a) だから U_δ(b)⊂U_ε(a)⊂A だから bはAの内点である (注1) b∈A U_δ(b)⊂A となる正実数 δ>0があるとき bをAの内点という ]のだから bがAの内点である事を示すためには [ b∈A U_δ(b)⊂A となる正実数 δ>0がある ]事を示せばよい (注2) [ xがBの任意の要素(x∈B)ならば → xはCの要素(x∈C)となる とき B⊂C という ]のだから U_δ(b)⊂U_ε(a)を示すためには x∈U_δ(b)→x∈U_ε(a) を示せばよい
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