集合の基礎

質問

高卒ですが独学で大学数学の勉強を始めました．
いろいろ情報を集めたところ最初に学ぶべきは
集合と位相あたりかと思い，問題を解き始めてみたのですが，
解答を書きかたの要領がいまいちつかめません．

以下の問題の解答にツッコミをお願いします．
【問題】
a∈A　⇔　{a}⊂A

【解答】
←：定義より {a}⊂A ⇔ x∈{a}⇒x∈A であるから，
　　x=a とすると a∈{a} は真なので，a∈A が成り立つ．
→：a∈{a} は真であり，仮定より a∈A であるから，
　　a∈{a}⇒a∈A つまり，{a}⊂A は成り立つ．

数学科の方などはこのような
図で書くと当たり前のような問題のときは
どんな解答を書いているのでしょうか？
ご教示お願いします．

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

←は問題なし。
→は足りない。
任意のxについてx∈{a}⇒x∈Aを示す必要がある。
これにはx∈{a}を仮定してx＝aを示せば、a∈Aとからx∈Aがいえる。

お礼

回答ありがとうございます．

修正してみました．
これでよいでしょうか？
→：
{a} の要素は a のみであるから，x=a のとき x∈{a} は真，x≠a のとき x∈{a} は偽となる．
x=a のとき a∈{a} と仮定 a∈A から {a}⊂A は成り立つ．
また，x≠a のとき x∈{a} は偽となるので，x∈{a}⇒x∈A は成り立つ．
したがって，任意の x について x∈{a}⇒x∈A は成り立つ．

> これにはx∈{a}を仮定してx＝aを示せば、
x=a の示し方をどのように書けばよいかわからなかったので，
上の修正解答はこのアドバイスを生かしきれませんでした．

回答No.2

bo-suke

今大学二年です。
解答の書き方はもう大丈夫そうですね。
で、私なりに補足。
私が思うに、
図で書くと当たり前の問題の場合は、
代数的に処理して当たっているか確認する
ことがメインになります。
代数的に(記号で)処理することと、図形的に処理することは、数学的には全く分離したものとして扱われています。まず表現したい図形の特性を厳密に記号で定義して、記号で処理。この記号と図形に対応を付けることで図形を表現したり、逆に活用して楽に問題が解けるようにしたりするのが数学の仕事です。ですから絵で書くと当たり前でも、記号で処理して調べなければいけません。
この時大事なのは、「決めた定義と公理、そして今までに求まった定理命題のみを使って、矢印(⇒)を進めていく」ということです。見たところきちんとできていますね。
例えば先ほどの問題なら、
定義より {a}⊂A ⇔ x∈{a}⇒x∈A であるから，(定義)
x=a とすると a∈{a} は真なので，(定義)
a∈A が成り立つ．(一番の命題に適用)
と言う過程を、あなたは直観のうちにやっていたと言うことです。
間違いを探す時は、私の場合は、この式はどうして真だと思ったのか、真と示すために何を使ったのか、そしてそれは使い方を間違えていないか、と文節ごとに確認するようにしています。
ただ、図で書くと当たり前でも多少難解になってくると、「見た目」を拝借して証明を簡単に行なうこともあるので、全部がそう、と言うわけでもなかったりします。茶を濁すようですが。
まとめると、「一度図で書いたら当たり前と言う先入観を捨てて、記号のみで処理する。使えるのは定義公理と、今まで同じ方法で求めた命題のみ。」
解答を書くコツみたいなものを書いてみましたが、参考になったでしょうか。頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます．

周りに聞ける人もおらず，なかなか前に進まなかったので，
大変参考になりました．

これからもこのサイトで皆さんのお世話になるかと思いますが，
いずれはほかの方の質問に答えることが出来るように
頑張っていきたいと思います．