直積集合の作り方について

質問

こんにちは。
物理学を学んでいる学生ですが数学を独学で勉強中で直積集合の構成について質問があります。

目的は直積集合で座標軸xを構成することとします。
このとき、
ある添数集合N（自然数）を定義し、その元をλとします。（λ＝1,2,3,・・・）
この時、Nによって添数づけられた集合族　（A）λ∈Ｎ　を定義しておいて、
この集合族Aを(-λ, λ)としておく。
全ての添数λ(∈N)についての集合族Ａの和集合で直積集合を構成することにする。

このとき、Ａの和集合で構成される直積集合は(-∞,∞)の集合となりますか？
この考え方で座標軸ｘ軸を構成できると思いました。
この考え方は正しいですか？
また、間違っているならどこが間違っているか教えてください。
お願いします

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回答No.6

metzner · ベストアンサー

＞つまりA1×A2×A3×・・・のようにずーーっと続くようなものは積集合ではなく直積集合ということですね。

そうです。カルテシアン積の拡張が直積です。

＞問題はちゃんと解けました。

#Aで集合Aの要素の個数をあらわすとすると、

#(A×B)=#A×#B、
#(Π_λA_λ) = Π_λ(#A_λ)

が成立することが分かると思います（有限集合として）。
このことからも、集合でのカルテシアン積や直積の記号はよくできていることが分かると
思います。

直積集合で、特に　A_λ=A　の時は、

Π_λA_λ = A^Λ

と書きます。実３次元空間をR^3と書くのも、カルテシアン積（直積集合）R×R×Rを
この流儀に従って表現しています。実３次元空間とは、３点集合（例えば{x,y,z} や{縦、横、高}）から実数への写像の全体と考えることができるわけですね。
実３次元空間の要素（＝点）とは、x座標は？、y座標は？、z座標は？という３つの問に
それぞれ実数を返すという関数と同一視していいわけですね。

集合Aの部分集合の全体からなる集合を2^Aと書きます。
直積集合2^Aは、Aから２点集合（{0,1}など）への写像の全体です。
これが集合Aの部分集合の全体とみなせる理由は、Aの部分集合Bを定めたとき、「Bの要素は１に行き、それ以外の要素は０に行く」というAから{0,1}への写像と１対１に対応することからです。この記法もよく出てきます。

以上の事が、他人に説明できるぐらい理解していれば、直積集合についてはとりあえず理解したと言っていいのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。
説明してくれたところはなんとか理解できたように思います。
直積集合の理解がかなり進んだと思います。

最後の集合Ａの部分集合全体からなる集合を2^Aと書くことができる話についてなのですが、
概念は理解できました。
この性質を使えば、元々順序数から構成されたある集合（自然数）からもっと大きな集合概念を形作れますよね？
たとえば整数、有理数、実数などなど。
実際、添数[0,1]→Ｒλ(λ∈[0,1])のような関数（写像先が元々の集合より大きい集合）を定義することが直積集合を用いて行えるわけですし。

わかるまで丁寧に答えていただいて本当にありがとうございます。

回答No.5

metzner

>これらからΠ_λA_λは[0,1]で定義されるありとあらゆる実数値関数（三角関数、対数関数、指数関数、etc・・・）の集合であるという理解でいいですか？

いいと思います。（ただlogλはλ=0で定義されていないので、この直積集合には属しませんが）

g(λ) = 0 (λが無理数の時),　1(λが有理数の時)

なんていう関数も含んでいます。とても大きな集合ということですね。

＞考えを図で表してみたのですが、このような感じでいいのでしょうか？（左図は自分で考えた直積集合、右図はmetznerさんが示してくださった例の直積集合）

すこし気になるのが、書かれた２つの図がそれぞれカルテシアン積、

Λ×Ｎ、Λ×Ｒ

のように見えることですが、念のためにいうと、当然直積集合はこれらとは異なります。
直線集合全体をこのように図示はできません。
書かれた左の例の場合は、「０と１ぞれぞれに自然数の高さの棒を与えた物（＝棒グラフ）」
全体の集合がこの場合の直積集合で
書かれた右の例の場合は「0から１のそれぞれに実数に、実数の高さの棒を与えた物（＝グラフ＝関数）」全体の集合がこの場合の直積集合です。

図示できるのは、直積集合の元で、それが棒グラフ、関数のグラフ、ということになります。

＞その理由はＡλが集合ではなくただの点であるため。

これは違います。カルテシアン積の場合も、Ａλはどんな集合でもかまいません。
添字集合が有限というだけです。
もちろんカルテシアン積の概念は直積の概念に含まれます。

直積集合を理解することは、なかなかはじめは難しいかもしれませんね。
とりあえず有限集合で演習をするべきでしょう。
たとえば、
Λ={1,2,3}
A1={a,b}
A2={c,d,e}
A3={p,q,r,t}
の時（a,b,c,d,e,p,q,r,tは全て異なる元として）、
Λ×A1、Λ×A2, Λ×A3, U_λA_λ, Π_λA_λ =　A1×A2×A3
は有限集合ですが、これらの集合の要素の個数を求めてみてください。
（答えはそれぞれ、6、9、12, 9, 24）

お礼

回答ありがとうございます。
あ、はい。あの図で直積集合を定義したというよりは、直積集合を構成するための元（つまりは添数から集合族への写像）を図示したって感じです。
実際の直積集合は左ではこの自然数の値のみをとれる棒グラフの中のそれぞれの点の組み合わせ（積集合）になっている。｛(1,1),(1,2), ・・・,(1,∞),(2,1),(2,2),・・・(2,∞),・・・｝のような）
そしてこれらの(○,○)そのものを新たな元としたものの集合が直積集合ですね！
また、実数でできた超細い(添数が実数集合なので)実数のみをとれる棒グラフの中の点（これも実数）の組み合わせ（積集合）になっている。（もはや元の数が多すぎて先のような記法では書けないですが・・・）

そして勘違いしてました。
積集合では添数が有限であることが重要なんですね。
つまりA1×A2×A3×・・・のようにずーーっと続くようなものは積集合ではなく直積集合ということですね。

問題はちゃんと解けました。
わざわざ問題までつけていただいてありがとうございました。

回答No.4

metzner

No3です。No３で用語の訂正をしておきます。

「積集合」-->「カルテシアン積」

（積集合は共通部分の事です。）

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

metzner

>この直積集合をx軸としたい場合は写像ψはどのように定義したらいいのでしょうか？

質問がまったく意味をなしていないように思います。おそらく直積集合の定義をまだ十分ご理解されていないように思います。なので直積集合の説明をもう一度します。

まず積集合から説明します。

集合 A1, A2 のそれぞれの要素をペアにした集合を A1×A2 と書きます。(積集合といいます)

A1×A2 = {(a1,a2)| a1∈A1, a2∈A2}

集合 A1, A2, A3 のそれぞれの要素を組にした集合を A1×A2×A3 と書きます。

A1×A2×A3 = {(a1,a2,a3)| a1∈A1, a2∈A2,a3∈A3 }

以下同様に集合　A1×A2...×An　が定義できます。

これらは直積集合の例です。
なぜなら、集合 A1×A2 は添字集合 Λ={1,2} 集合族 {A1, A2} として
Π_λA_λ と同一視できるからです。
すなわち、Π_λA_λ の任意の元fは写像

f:Λ-> A1UA2, f(λ)∈Aλ

ですが、これは集合 A1×A2 の元 (f(1),f(2)) と同一視できるからです。
すなわち写像とそのグラフ（今の場合は２本の棒からなる棒グラフ）を同一視
しているわけです。
この同一視をちゃんと理解することが、直積集合の理解への鍵です。
A1×A2×A3 も添字集合 Λ={1,2,3} 集合族 {A1, A2, A3} とすれば同様です。

上の例では添字集合が全て離散有限でした。添字集合が任意の集合のときに拡張したものが
直積集合となります。
Π_λA_λの Π はギリシャ文字パイの大文字で、product（積）の頭文字を表しています。
だから記号Π_λA_λは集合A_λたちをλを変えながらΛの個数だけ掛け合わせて積集合を作っているイメージからきています。（このイメージを理解することが重要です）

たとえば添字集合が Λ=[0.1] で、Aλ= R (実数全体の集合)のとき、
Π_λA_λの元はイメージ的には実数を [0,1] 個、べったりと並べた”組”です。
これは [0,1] で定義された実数値関数に他なりません。

お礼

丁寧な回答をありがとうございました。

はい、ちゃんと直積の定義をわかっていませんでした。
まず、積集合が離散的な直積集合となっている。
その理由はＡλが集合ではなくただの点であるため。
そして、直積集合はこのＡλそのものが集合であるためあるλ(∈ Λ)にたいして複数の元をとることができる。（Ａλそのものを点から集合への拡張）
こうしておけばあるλを決めたときに様々なＡλを持つ可能性ができる。

ここで、metznerさんが挙げてくれたような例　Λ=[0.1] で、Aλ= R (実数全体の集合)のときの
Π_λA_λは[0,1]の範囲でとりうるありとあらゆる実数の組（この組こそが[0,1]で定義された関数）を示す。
また、この直積集合1つ1つの元はλ→任意の実数への写像である。
これらからΠ_λA_λは[0,1]で定義されるありとあらゆる実数値関数（三角関数、対数関数、指数関数、etc・・・）の集合である
という理解でいいですか？

考えを図で表してみたのですが、このような感じでいいのでしょうか？（左図は自分で考えた直積集合、右図はmetznerさんが示してくださった例の直積集合）http://www.geocities.jp/piyotatuku3/CA0N1HDM.jpg

回答No.2

metzner

No1です。

>そう考えると、この場合(-λ,λ)の集合をそれぞれのλ（=1,2,3,・・・）について考え、それらの和集合にするこの操作こそがψである。
このような解釈でいいですか？

違います。

直積集合は、「添字集合から和集合への写像で、添字集合の元λの行き先が、A_λに属しているいう条件を満たすもの」の集合です。

だから、今の例では、

U_λA_λ　= (-∞,∞)

ですが、直積集合はこれとは当然ことなります。

Π_λA_λ　の元は例えば

f(λ) =0　（全てのλについて）
g(λ) = -λ+1

で定義される写像 f,g:N -> (-∞,∞) などです。

すなわち、写像

Ψ:N -> (-∞,∞)

で

-λ <Ψ（λ）<λ

を満たすもの全体です。

お礼

回答ありがとうございました。

自分の考え方だと、和集合そのものが直積集合になってしまうということですね。
正しくは、-λ<ψ<λを満たす写像ψ：N→(-∞,∞)の和集合が直積集合ということですね。
つまり、(-∞,∞)はあくまでも写像した先がどこでもいいということであって、直積集合ではないということですね。

定義の違いはわかったのですが、この直積集合をx軸としたい場合は写像ψはどのように定義したらいいのでしょうか？

回答No.1

metzner

こんにちは。

＞全ての添数λ(∈N)についての集合族Ａの和集合で直積集合を構成することにする。

の意味を詳しく説明してください。

U_λA_λ を求めるのか？

Π_λA_λ を求めるのか？

それとも他の操作か？

お礼

回答ありがとうございます。
よろしくお願いします。

補足

自分が使ってる教科書の定義（杉浦さんの解析入門）を今回質問した内容に対応させて載せます。

「集合族Ａ(λ∈Ｎ)に対し、｛　ψ:N→∪(λ∈Ｎ)Ａλ　｜全てのλ∈Nに対しψ(λ)∈Aλ　｝
という集合をAλ(λ∈A)の直積集合という。」

このような記述です。
この場合の写像はこの場合は自然数である添数Ｎの集合をＮの元としてのλに対応する集合族Ａの和集合に変換するという操作という解釈でいいですよね？
そう考えると、この場合(-λ,λ)の集合をそれぞれのλ（=1,2,3,・・・）について考え、それらの和集合にするこの操作こそがψである。
このような解釈でいいですか？