命題

質問

苦手なので、おしえてください。
命題が正しければ証明し、正しくなければ判例をあげる。

(ア）a,b,cが実数であるとき、xについての方程式a(x＾2)＋bx＋c=0は、2つより多くの解をもたない

(イ）a,b,cが実数のとき、ab>acならば,(b/a)>(c/a)

(ウ）２つの実数a,bの積が有理数ならば、aとbは有理数である。

おねがいします。

回答No.3

UKY · ベストアンサー

(ウ)は偽(正しくない)ですよ。

分かりやすい反例としては
a = b = √2

(ア)は実際に方程式を解いてみればいいですね。
方程式の解は
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2
ですから、三つ以上にはなりえません。

(イ)は両辺を a^2 で割ればすぐに証明できますが、a = 0 ではないことを予め断っておいてから割らないといけません。

回答No.7

springside

（イ）は真（aは0でないから、両辺をa^2>0で割ればよい）、（ウ）は偽（反例:a=b=√2）ですが、問題は（ア）ですね。

日本語（数学用語？）の解釈の問題のような気もしますが、私は「偽」だと考えます。

これは、a=b=c=0のとき、xについての方程式a(x＾2)＋bx＋c=0は任意のxについて成立する（無限個の解を持つ）ためです。
言い換えると、
「a=b=c=0のとき、xについての方程式a(x＾2)＋bx＋c=0は、例えば以下の解を持つ。
　x=1,2,3
　よって、解を３つ以上持つから、偽」
ということです。

回答No.6

UKY

3番目のものです。申し訳ないですが訂正です。

(ア)の方程式の解は
a = 0 のとき
x = -c/b
a ≠ 0 のとき
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

いずれにしても解が二つ以下であることに変わりありません。
なお、aとbが共に0である場合、未知数xを含む項がなくなってしまいますが、このようなものは普通方程式とは呼びませんので考慮に入れる必要はありません。

回答No.5

ranx

(ア)は正しいのではないでしょうか。
a=b=c=0 の場合は方程式にならないと思います。
「無限個」という数も無いので。

回答No.4

eatern27

(ア)は偽だと思います。

反例はa=b=c=0

このとき、方程式a(x＾2)＋bx＋c=0は3つどころか、無限個の解を持ちます。

回答No.2

TK0318

まず(ア)、(イ）は真、(ウ）は偽です。

反例は
(ウ）a=√2,b=2√2

(イ）の証明は両辺をa~2で割ればいいです。

(ア)の証明方法がわからないので他の方に・・・

回答No.1

tomikou0000

うーんと…
分かるんですけど、証明がうまく出来ません。

(ア)は２次方程式だから２個以上解を持たないので、
正しいです。
証明になるのか分かりませんが、
この式を「Y=」としてグラフ化すると放物線になります。
なので、
１つのYの値に対するXの値は頂点の場合は１つで、
それ以外は２つになります。
３つ以上にはなりません。

(イ)は正しいです。
これは普通に、両辺をaの２乗で割ってやるだけです。
ab>ac
(ab/a^2)>(ac/a^2)
(b/a)>(c/a)

(ウ)も正しいです。
これも証明は出来ないのですが、
積なので、
１つでも無理数が混じっていれば結果は無理数になりますので。
無理数とは、Π(パイ：円周率)などの、
何桁も無限に続いてしまう数のことですから、
これに何をかけようとも有理数(ある桁数で終わる数)にはなりませんよね。

ちゃんとした答えにはなっていませんので、
ヒントとしてとらえてください。
(イ)はこれで証明になっていると思います。