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命題

問１:係数が実数であるｘの二次方程式ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑ=０－(1)がある。次の(ア)～(エ)(1)が異なる実数解をもつためのどんな条件か。 (ア)２ｐ^2－ｑ＞０ (イ)ｐ^2－ｑ＞０ (ウ)２ｐ－ｑ＞１ (エ)ｑ=１ 問２:ｙ＞ｘ^2であることはｙ≧２ｘ^2－２ｘ＋１であるための何条件か。 問３:ｘ^2＋ｙ^2≦１であることは|ｘ|＋|ｙ|≦１であるための何条件か。 お願いいたします

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回答No.1

(1)においての判別式より　D/4=p^2－q＞0　が異なる2つの実数解をもつ条件です。 　(ア)p^2≧0より、　2p^2－q≧p^2－q＞0より 　　（ア）は(1)が異なる実数解をもつための必要条件 　(イ)p^2－q＞0は異なる実数解をもつための条件と同じ(同値)なので、 　　（イ）は(1)が異なる実数解をもつための必要十分条件 　(ウ)2p-q＞1　すなわち　(2p-1)－q>0⇔p^2-q＞0　を比べます。　左から右は、p^2は必ず2p-1以上　(p-1)^2より　になるので、真。逆は、pが負のとき成り立たないから偽。　よって 　（ウ）は(1)が異なる実数解をもつための十分条件 　(エ)q=1のとき、明らかにq=1→p^2－q＞0は常には成り立たない、またp^2－q＞0→q=1も成り立たないから 　（エ）は(1)が異なる実数解をもつためのどの条件にも当てはまらない。 問2　左から右はx＝3、ｙ=10のとき偽、逆はx＝y＝1のときに偽であるから　何の条件でもない 問3　|x|≦1、|y|≦1⇔2乗が1以下　より、x^2＋y^2≦1は|x|＋|y|≦1の必要十分条件　(終)

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