(1)
2本の放物線の交点を求めると
(-2/√(a+1),4a/(a+1)), (2/√(a+1),4a/(a+1))
y軸の周りの穴あき回転体の体積の公式
V=π*∫[y_1,y_2] (x_3^2-x_4^2) dy
を用いて
V_1=π*∫[0,4a/(a+1)] (4-y)-(y/a) dy=8πa/(a+1) ...(答)
(2)
y軸の周りの回転体の体積の公式
V=π*∫[y_1,y_2] (x^2) dy
を用いて
V_2=π*∫[0,4a/(a+1)] (y/a) dy+π*∫[4a/(a+1),4] (4-y) dy
=8π/(a+1) ...(☆1)
(1)の答えのV_1と(☆1)のV_2を等しいとおくと
8πa/(a+1)=8π/(a+1)
両辺を8π/(a+1)(>0)でわると
a=1 ...(答)