電磁波の磁束球面波連鎖はどうなる？

質問

電波は微小ダイポールから真空中を伝搬するとき、無指向性に広がる理想的な球面波で伝搬する姿を考える場合が良くあります。ところが磁束密度波Byの式は球面波の姿を持たないようなのです。どう考えたらよいのでしょうか？
　たとえば物理学の学生たちは電磁波の真空中ｚ軸方向への伝搬で、電界と磁界の波動の位相差を下記のマックスウェルの式から同相と考えるそうです。そして電界と磁界はたがいに直交しているとか、電界と磁界は進行方向に成分を持たないと証明するようです。
マックスウェルの波動方程式から
rotE + ∂B/∂t = 0
これを成分に分解すると
∂Ez/∂y - ∂Ey/∂z + ∂Bx/∂t = 0
∂Ex/∂z - ∂Ez/∂x + ∂By/∂t = 0
∂Ey/∂x - ∂Ex/∂y + ∂Bz/∂t = 0
となるので、いろいろ計算すると
Ex = A(z - ct) + B(z + ct), Ey = 0, Ez = 0 (A, B は任意関数)
となるといいます。
　電界波Exは中心から同型に雨だれが落ちた水面に中心点から広がる波紋のような姿と理解できます。ここで条件をA=B、A、Bは偶関数とすると、時間軸として球の径に軸を置いて考えれば、球面波が成り立ちそうだとなんとなく分かります。Aは静方向へ進む前進波が波面を拡張していき、Bは負方向へ進む前進波が波面を拡張しそうです。
この式で電界波Exには球面波でもなりたちそうです。

　そして電界と磁界の式にはアナロジーがあり似た関係をもっているので、
By = (1/c)(A(z - ct) - B(z + ct)) 、Bx = Bz = 0
が得られます。

　ところが、磁束密度波Byの式は右辺２つ目のカッコ内が-なので、AB波面を重ね合わせると差分を表しています。すると球面波の形を保ちそうにありません。Bを奇関数と考えるのも電界で選んだ任意の関数ABに矛盾します。
　どういう様子になるのでしょうか。

　そしてExとByの右辺の関数１項目Aと２項目Bが同じなので、同相と考えるようです。
ところが同相では伝搬中は良いとして、アンテナから電磁波を放射するときに都合が悪く、全く放射がないらしいのです。
　アンテナには定在波が必要です。

<http://ja1ctb.blogspot.jp/2011/07/small-ant_24.html> から
位相は定在波と真空で異なる
電磁波の伝わり. ここでは、進行波 と 定在波 に. わけて考える.
進行波：信号がある一方向に伝搬する．
定在波：方向の異なる進行波が複数存在 ... 電界と磁界は位相が90度ずれる． ...
貼り付け元 <https://www.google.co.jp/search?hi=ja&lr=lang_ja&ie=utf-8&tbo=1&q=%E9%9B%BB%E6%B3%A2%E4%BC%9D%E6%90%AC%E3%80%80%E8%A9%A6%E3%81%97%E8%AA%AD%E3%81%BF>

　現状では球面波と定在波がどのように空間に変化していくかが表し切れていません。

回答No.1

nnggcc6543

１．まず、内容がわかりません。でも、誤りもあるのであえて出ました。
話がかみ合わないでしたら、ごめんなさい。

>球面波の形を保ちそうにありません

これが何を言ってるかわかりませんが、平面波　A(z - ct) ± B(z + ct)
でも一方だけではないので、波の形は保ったまま移動することはありま
せんよ。２つが同期すれば定在波にもなるので。

あと、全体に「そうにありません」「なりたちそうです」とか漠然とした
物言いでは何を言ってるかわからないこともあり、議論になりません。

２．
>アンテナには定在波が必要です。
アンテナに給電は定在波になり、電磁波として解析していないはずです
（導波管による給電は知らないが）。そして、発射された電磁波は進行波
しか考えません（普通は。特別があるか知らない）。

３．球面波
上は平面波の話です。
マクスウェルの式を球面座標に変換して、Er=Br=0などと仮定して、同様に

解くと、次の球面波解が得られます。
Eθ={f(r-vt)+g(r+vt)}/r, Bφ={f(r-vt)-g(r+vt)}/(cr)

お礼

ご回答ありがとうございました。また情報あったら教えてください。よろしくお願いします。

補足

設問を書き換えてみます。
マックスウェルの波動方程式から解いた解Eについて関数形式に２種あるので、何故２種あるのか、同種と考えてよいのかわからないので教えてください。同じように磁束密度Bについても２種あります。
解法の出だしが物理学の教科書から
rotE + ∂B/∂t = 0
をもとにしたのと、電子通信学会(現電子情報通信学会)編　コロナ社　電子通信学会大学講座１８巻　アンテナ・電波伝搬　虫明康人執筆　１１ページ　　平面波からΠをヘルツベクトルとして
∇＾2Π+ｋ＾2Π＝0　　（2.34）
をもとに解きだしたのでは結果の関数形がことなり、表している波形、下記でＬとＭと記号した式が２種類で違います。同じに平面波を求めているようですが、なぜ違う解になるのでしょう。

(1)　rotE + ∂B/∂t = 0
いろいろ計算すると平面波として電磁波の解に
Ex = A(z - ct) + B(z + ct)　　　　　　　　（L式)
By = (1/c)(A(z - ct) - B(z + ct))
が得られます。
　ここでちょっと疑問があります。電界波、磁束密度波ともに関数A+-関数Bの形式です。一般形として解けたわけです。ともに関数Aのパラメータは時間軸を進行する波のようにみえるのですが、Bはどういう波を表しているのでしょう。
　そして磁束密度波Byの右辺が関数Aから関数Bを引いているという形ですが、たとえば球面波にもこの状態が現れるとしたら、どんな姿なのか想像つきません。教えてください。

(2)　∇＾2Π+ｋ＾2Π＝0　
から
Πｘ＝Me(-ｊｋz)　　　　　（2.36）
Πｙ＝0
Πｚ＝0
Ｅｘ＝Ｍｋ＾2e(-ｊｋz)=Ee(-ｊｋz)　　　（2.37）
Hy＝Ｍωεｋe(-ｊｋz)=Ｈe(-ｊｋz)　
というベクトル解から瞬時値の解として
Ex＝√２｜E｜cos（ωｔ+θ-ｋｚ）　　（2.40）　（Ｍ式）
Hy＝√２｜H｜cos（ωｔ+θ-ｋｚ）
となって平面波が求められています。

（L式) は解の一般形だろうと思うのですが、（Ｍ式）とは全く異なる形式に見えます。どういう風に理解できますか。教えてください。
一致点はないかと2式を考えては見たのですがだめです。同一な形式には表せない。

　そしてＢ(z+ct)は平面波電波の観察事実に反します。電波の進行方向ｚ軸でそれに直交してさらに互いに直交する電界平面と磁界平面が正進と負進の両方向を同一に形作ることが果たせません。
たとえばA(z-ct)が時間軸ｔの向きで進行→として考えたとき、平面波では、電界平面と磁界平面が原点を含みただ一種類に定まる約束です。そして正の進行方向へ右手系とかにきまります。
　逆進←にみると、右手系を裏返すので、とある１軸は正負反転になり、その時でもかわらずcos（ωｔ+θ-ｋｚ）だけになりたいのですが、B(z+ct)はそれを満たせるでしょうか。満たせそうにないのです。

　ほかにも不足はあり、理想微小ダイポールアンテナの放射を考えると球面波が必要なのですが、Ｌ式ではB(z+ct)が磁界のための球面波を崩しそうです。経線のどこかで球面に不連続が出そうです。