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三角関数の定積分

ある問題の回答で、サインのN乗のゼロから二分のパイまでの積分と、コサインN乗の同じ範囲の積分は等しい、ということが説明抜きに書いてありました。これは自明のことなのでしょうか？

質問者が選んだベストアンサー

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  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.2

自明といってよいでしょう。 sin(x)とcos(x)は[0,π/2]においてx=π/4に対して対称です。これはN乗しても同じです。 ですのでsin^N(x),cos^N(x)とx軸、x=0とx=π/2で囲まれたグラフはx=π/4に対して対称ですので面積も等しい。

その他の回答 (6)

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.7

#5のものです。 >対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。 それでよい。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.6

「単なるsin^n(x)は置換積分できない」というなら別の置き換え方を考えればいい. 積分した値が必要なわけじゃないんだから.

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.5

#2のものです。 #3の方へ。 ＞面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。 違う、違う。 N乗したものの積分は、N乗したもののグラフがつくる面積ですよね。 N乗したものグラフの面積が等しい=N乗したものの積分の値が等しい ということです。sin(x)とcos(x)のグラフがつくる面積が等しい、ということから議論しているわけではありません。 sin(x)とcos(x)のグラフはx=π/4を中心に対象です。これはN乗したグラフでも同じです。 だからN乗したグラフでも[0,π/2]の部分の面積は等しいよね、ということなのです。

snorioo
質問者

補足

対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.4

置換積分すれば容易にわかる.

snorioo
質問者

補足

sin^n(x)cos(x)という形であれば置換積分できるが、単なるsin^n(x)は置換積分できない、という文脈での問題なのですが・・・・・

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.3

#1さん、＃2さん、 私も皆さんと同じように考えていたのですが 面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

  • Hutson
  • ベストアンサー率25% (1/4)
回答No.1

cosとsinのグラフを　０　から　π/2 まで書いてみてください。 そうすると　cos と　sin は面積は全く等しいですよね。

snorioo
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

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