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三角関数の有理数の定積分

I(n)=∫dx/(asinx+bcosx+c)^n型の積分で、範囲が0～2πの定積分の仕方を教えてください。 これって漸化式になるんですよね？ =-｛1/(n-1)(a^2+b^2+c^2)｝｛acosx-bsinx/(asinx+bcosx+c)^n-1｝+(2n-3)cI(n-1)-(n-2)I(n-2) 自分が解きたいやつはｎが1/2の時で、これにあてはめても、漸化式だからループしちゃって・・・文献値をさがしても、資料がどうしてもみつかりません・・・ こういう漸化式はどう解けばよいのですか？わかる方教えてください。。。

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.1

漸化式の場合 nは通常整数です。 従ってnが1/2となる事はないです。 漸化式とは別にして, I(n)=∫dx/(asinx+bcosx+c)^n の積分でn＝1/2とおいた積分は c=√(a^2+b^2)以外の時は楕円積分になって、初等関数の範囲では（つまり解析的には）積分できません。 a,b,cがもし定数で正負ゼロのあらゆる組合せが含まれますので一般形のままでは積分が先に進みませんね。 x=0～2πの範囲でasinx+bcosx+c＜0となるa,b,cでは 積分そのものが不可能なことは明らかですね。 文字定数を使う場合(-)^(1/2)の中が負にならないように定数に条件を設定する必要があります。 a>0,b>0,c>0などと仮定し、a,b,cの間の大小関係を条件として場合分けしないと、積分がどうなるか、一般論では論じる事ができませんね。

oh-moikey
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