積分・漸化式

質問

In= ∫ dx / (x^2 + 1)^n　と与えられています。
これを漸化式で表すときの途中式で・・・

1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
と変形できるのは分かりました。ここから・・・

In=I(n-1) -[ { -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)} ]
への変形の仕方が分かりません。
おねがいします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
これって、I(n-1)の部分でなくて、一番最後の"+{1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}"
の 部分だったんですね。#2での回答は見当違いでした。すいませんでした。そのお詫びに遅くなってしまいましたが、後半の部分積分の方を。

f(x)=x/2、g'(x)= {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
とおきます。すると、
f'(x)=1/2、g(x)=-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}
となります。

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
に上のf(x),g(x),f'(x),g'(x)を代入して、整理すると、

∫(x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} dx

＝{(x/2)*[-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}] -∫[(1/2)*{-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}]dx

＝{ -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}

お礼

部分積分ですか。
ていねいに最後までありがとうございます。

どうもありがとうございました。

回答No.2

eatern27

＞{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
えぇと、難しく考えすぎてません？

1/(x^2 + 1)^n ＝”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}

これをxで積分すると、右辺の最初の項（”と”の間）に
{∫dx/(x^2+1)^(n-1)}＝I(n-1)が出てきますね。

あとは、右辺の残りの部分を積分すれば、求める式が導けると思います。

補足

＞1/(x^2 + 1)^n ＝”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}

えーっと、こっちから出てくるのは分かります。
問題は後半の方から出てくるヤツの出し方が分からないんです。
おねがいします。

回答No.1

HOGERA3

＞1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
の両辺をｘで積分したら

In = I(n-1) - ∫[...]dx

ですよね。
そしたら右辺の第2項を部分積分すればいいんじゃないでしょうか。

なんとなくそう思っただけ（未確認）ですので間違っているかもしれません。

補足

恐らく積分をすると思うのですが、
{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
どのように積分すればイイのでしょうか？