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不定積分と漸化式の証明
時間がある方、説いていただければ幸いです。 In＝∫eのax乗sinbxdx (aの２乗＋ｂの２乗≠０) ｛不定積分｝ In＝∫(logx)のｎ乗dx とおくとき、In=x(logx)のn乗－ｎI n-1 の漸化式が成り立つことを証明せよ の２門です。 お願いします。
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In＝∫e^ax sinbx dx =∫(e^ax/a)'sinbx dx =e^ax/a sinbx-b/a∫e^ax cosbx dx =e^ax/a sinbx-b/a{e^ax/a cosbx+b/a∫e^ax sinbx dx} =e^ax/a sinbx-be^ax/a^2 cosbx-b^2/a^2 In (1+b^2/a^2)In=(e^ax/a)(sinbx-bcosbx/a) よって In=ae^ax(sinbx-bcosbx/a)/(a^2+b^2)+C(Cは積分定数）・・・答 In=∫(logx)^n dx =∫x'(logx)^n dx =x(logx)^n-∫xn(logx)^(n-1)×1/x dx =x(logx)^n-n∫(logx)^(n-1) dx =x(logx)^n-nIn-1 証明終
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ぶぶんせきぶん
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