微分の計算で arctan(asinx+bcosx)/(acosx-b

質問

微分の計算で　arctan(asinx+bcosx)/(acosx-bsinx)を微分したら(a>b>0)

[{√(a-b)/(a+b)}*sec^2(x/2)]/2/1+{(a-b)/(a+b)}*tan^2(x/2)になって

{√(a^2-b^2)}/2(a+bcosx)になると解説に載っているんですが、

二行目から三行目にどのような変形が起こっているのかよくわかりません。

どなたか解説お願いします。

回答No.1

Ae610

[{√(a-b)/(a+b)}*sec^2(x/2)]/2/{1+{(a-b)/(a+b)}*tan^2(x/2)}
=[{√(a-b)/(a+b)}*sec^2(x/2)*cos^2(x/2)]/2{cos^2(x/2)+{(a-b)/(a+b)}*sin^2(x/2)}
={(a+b)√((a-b)/(a+b))}/2{(a+b)cos^2(x/2)+(a-b)sin^2(x/2)}
=√(a^2-b^2)/2[{a(cos^2(x/2) + sin^2(x/2))} + b(cos^2(x/2) - sin^2(x/2))]
=√(a^2-b^2)/2(a + bcosx)

sec^2(x/2)*cos^2(x/2) = 1
cos^2(x/2) + sin^2(x/2) = 1
cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = cos(2・x/2) = cosx (倍角公式あるいはcosの加法定理)

お礼

ありがとうございました