数学質問：解の1つが1-iである方程式の解
- 解説によると、解の1つが1-iである場合、実数係数の2次方程式となる。
- 解説にはx=1-iを解に持つ2次関数はx=1+iも解に持つとあり、x^2-2x+2=0となる。
- 展開した{x-(1-i)}{x-(1+i)}ではなく、x^2-2x+2=0となる2次関数になる。
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数学質問
画像で添付した問題について。 画質が悪くて見えないかもしれないので一応文字でも... (1)a,bを実数とし、iを虚数単位とする。方程式x^3+ax+b=0の解の1つが1-iであるとき、a、bの値を求めよ。 この問題がイマイチわからず、解説を見たところ、解説には「a,bが実数であるので、x=1-iを解にもつ2次関数はx=1+iも解にもつ。よって、x=1-iを解にもつ実数係数の2次方程式は x^2-2x+2=0 となる。 とあるのですが、なぜこのような2次関数になるのですか？？x=1-iを重解として持つ2次関数{x-(1-i)}^2かな？と考えて展開してみたのですが、解説のような2次関数になりません。{x-(1-i)}{x-(1+i)}を展開してもなりませんでした。 計算が間違っているのでしょうか？ どうやったら解説のような2次関数が出ますか？？
- yukiyukiscell
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2次方程式の解の公式は覚えてますか? 復習も兼ねて以下を読んでみましょう。 http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/kainokoshiki/ さて大雑把に言うと、２次方程式の解は x=a ±√b の形をしており、係数が実数なら a,b も実数になります。 ここで虚数解が出てくるなら b<0 でなければなりません。 今の問題では x=1-i を解を持ちますから a=1, b= -1 の形しかありません。 よって x= 1+i を解としてもたざるを得ません。 {x-(1-i)}{x-(1+i)} を展開しても、問題の２次式が得られなかったなんて嘘でしょう? どこかで計算しているのではないでしょうか? がんばってください。
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一般に、実数係数のn次方程式P(x)=0 の両辺の複素共役をとると （P(x))~=P(x~)=0 となります。 （ただし複素数zに対してz~はzの複素共役を表すものとする） つまりαがP(x)=0の解ならばα~もP(x)=0の解になります。 この性質をつかうと、1+iが実数係数の3次方程式x^3+ax+b=0の解なので1+iの複素共役である1-iもこの3次方程式の解になることがわかります。 因数定理を2回使って、あるxの一次式Q(x)を用いて x^3+ax+b={x-(1-i)}{x-(1+i)}Q(x) と書けます。 {x-(1-i)}{x-(1+i)}= x^2-2x+2 です。
- info222_
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>「a,bが実数であるので、x=1-iを解にもつ2次関数はx=1+iも解にもつ。よって、x=1-iを解にもつ実数係数の2次方程式は x^2-2x+2=0 となる。 これから >{x-(1-i)}{x-(1+i)}を展開してもなりませんでした。 計算が間違っているのでしょうか？ 計算間違いしてるだけ！でしょう。 {x-(1-i)}{x-(1+i)}=(x-1)^2-i^2=(x-1)^2+1=x^2-2x+2 なので「 x^2-2x+2=0」となります。 おわかり？
- yyssaa
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＞{x-(1-i)}*{x-(1+i)}=x^2-(1+i)x-(1-i)x+(1-i)(1+i) =x^2-2x+1-i^2=x^2-2x+2
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