数学II 解の判別方法とは?
- 数学IIにおいて、解の判別とは、与えられた方程式の解の種類を判定することを指します。
- 判別条件は、判別式D=b²-4acの値を用いて行われます。
- 判別式の値によって、方程式の解の種類が決まります。D>0のときは異なる2つの実数解を持ち、D=0のときは重解を持ち、D<0のときは異なる2つの虚数解を持ちます。
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【数学II】解の判別
{問題} aを定数とするとき、次の方程式の解の種類を判別せよ。 2x²-2ax-a²+3=0 私はこう解きました。 D=4a²-4・2・(-a²+3) =4a+8a²-24 =12a²-24 =12(a²-2) =12(a²-√2)(a²+√2) (i)D>0 a-√2>0 a<√2 a+√2>0 a>-√2 -√2<a<√2 のとき、異なる2つの実数解をもつ。 (ii)D=0 a=±2 のとき、重解。 (iii)D<0 a-√2<0 a>√2 a+√2<0 a<-√2 a>√2,a<-√2 のとき、異なる2つの虚数解をもつ。 しかし、解答を確認してみると、 a<-√2,√2<a のとき異なる2つの実数解 a=±√2 のとき重解 -√2<a<√2 のとき異なる2つの虚数解 となっています。 (i)と(iii)の不等号の向きが逆になっています。 なぜなのでしょうか。 a-√2>0 a<√2 の部分の計算が違っているのでしょうか。 それとも、判別式から間違っているのでしょうか。 教えていただけませんか? 宜しくお願い致します。
- nonmari
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判別式はあっています D>0のとき (a-√2)(a+√2)>0 から導けるのはa>√2またはa<-√2です 二つの項が両方正になるか両方負になるかなので 詳しく書けば a-√2>0かつa+√2>0 または a-√2<0かつa+√2<0 からでます >a-√2>0 a<√2 の二つ目の不等号の向きが逆です
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- nattocurry
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グラフで考えてみましょう。 12(a^2-2)は、a^2の係数が正なので、下に凸の放物線です。 ということは、a=-√2とa=√2の外側のときに12(a^2-2)は正になります。
お礼
成る程、グラフで考えてみるのですね! そうすると、わかりやすいですね。 助かりました。 ご回答ありがとうございました!
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お礼
やはり、不等号の向きが逆でしたか! 助かりました。 丁寧で、わかりやすい回答をありがとうございました!