複素数を含む三角関数方程式の問題

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
zは複素数でa>0,b>0,k>0のとき

(a+b)・√z・cosh(k√z)-(ab・z+1)・sinh(k√z)=0

を満たすzを求めよという問題です。
coshとsinhを指数に変えたり、cosやsinへの変換を行ってますが、解けません。
ご存知の方、よろしくお願いいたします。

回答No.3

178-tall

>… ik√z=u+ivと置いたという理解でよろしいでしょうか。

双曲線関数らしいので、k√z = w = u+iv としてみました。
あとは、おっしゃるとおりです。

どうやら、
　e^(2w) = (w の二次分数)
のスタイルみたいで、実解の有無なら略グラフでも描いてチェックできそう。
けど複素解となると 実 / 虚部 に分けて逐次追跡、しかなさそうな気がしました。

では… Good luck。

回答No.2

178-tall

アドバイスをいただきありがとうございます。
>… 実部と虚部に分けたいのですが、そこができません。
>できれば、解析解を導きたいです。

解析解は導けそうもなく、「やってみる元気ない…」というボヤキしか出ません。

もとの等式は、
　(A+B)(u+iv)*cosh(u+iv) - AB(u^2 - v^2 + i2uv)*sinh(u+iv) = 0　　(1)
などと変形可能。
e^(u+iv) = (e^u)*{cos(v) + i*sin(v) } だろうから、(1) へ代入し 実 / 虚部 に分ける。

…という、至極アタリマエのシナリオしか想い着かない。蒙御免。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
なるほど、仮にik√z=u+ivと置いたという理解でよろしいでしょうか。
√z=(u+iv)/(ik),z=(u+iv)^2/(ik)^2
ik*(a+b)*(u+iv)*cosh(u+iv)-(ab*u^2-ab*v^2+ab*2iuv+1)*sinh(u+iv)=0
となりますよね。
ika=A,ikb=Bとおくと
　(A+B)(u+iv)*cosh(u+iv) - (ABu^2 - ABv^2 + i2ABuv+1)*sinh(u+iv) = 0　
となりご教示頂いた式と少し違いますが、これから更に
e^(u+iv) = (e^u)*{cos(v) + i*sin(v) }
を使って実部と虚部を分けていくわけですね。
頑張ってみます。

回答No.1

178-tall

やってみる元気ない…ので作戦だけ。

w = √z = u + iv などと実/虚部に分け、実/虚部の方程式を作る。
その 2 変数連立の近似解を想定し、Newton 流で逐次追ってみる。

…というのが常識的な算段。

お礼

アドバイスをいただきありがとうございます。
おっしゃる通りに実部と虚部に分けたいのですが、そこができません。
できれば、解析解を導きたいです。