"複素関数cos(z)の微分について"について
- 複素関数cos(z)の微分について調べているが、微分過程でcosh(y)とsinh(y)の微分を使っているのが疑問。
- 他の方法で複素関数cos(z)の微分を求める方法を知りたい。
- {cosh(y)}' = sinh(y)と{sinh(y)}' = cosh(y)の理由についても知りたい。
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複素関数cos(z)の微分について
w=u+iv=cos(z)とおいたときに,wがzの全域でコーシー・リーマン方程式(∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x)を満たすことを示し,微分係数を求めよ.(z=x+iy,iは虚数単位) と言う問題です. 解答を見てみると, cos(z)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y) の加法定理の関係式を使い, u=cos(x)cosh(y) v=-sin(x)sinh(y) したがって, ・∂u/∂x=-sin(x)cosh(y) ・∂u/∂y=cos(x)sinh(y)・・・I ・∂v/∂x=-cos(x)sinh(y) ・∂v/∂y=-sin(x)cosh(y)・・・II よって,コーシー・リーマン方程式を満たしている. となっていました. 疑問なのは,複素関数cos(z)の微分について調べているのに,IとIIでそれぞれcosh(y),sinh(y)の微分をしていることです. cosh(y)=cos(iy),isinh(y)=sin(iy) なので,これも複素関数の微分となり,ここでは使ってはいけないのではないのでしょうか? ほかの方法があれば教えてください.また, {cosh(y)}'=sinh(y),{sinh(y)}'=cosh(y) となる理由もよろしくお願いします.
- wing20008
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IとIIでそれぞれcosh(y),sinh(y)の微分をしている のは実数での微分です。 かりに cosh(y)=cos(iy),isinh(y)=sin(iy) とかてからでも実数での微分です。 これも複素関数の微分...... っていうより複素数での微分 ではありません。 z要素Z f要素Z z→f(z) をzで微分するのが複素数での微分です。
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- Meowth
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{cosh(y)}'=sinh(y) cosh(y)={e^y+e^(-y)}/2 {cosh(y)}'={e^y-e^(-y)}/2=sinh(y) {sinh(y)}'=cosh(y) {sinh(y)}'=[{e^y-e^(-y)}/2]'={e^y+e^(-y)}/2 =cosh(y)
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お礼
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