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この超越方程式解の解き方
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元の方程式の左辺を f(x) と書きます． y = f(x) のグラフが x 軸を切るところの x の値が 元の方程式 f(x) = 0 の解です． だから y = f(x) のグラフを描いてみれば様子がわかるということです． ところで，f(x) には cosh(x) や sinh(x) が含まれていて， cosh(x) = (1/2) (e^x + e^(-x)) sinh(x) = (1/2) (e^x - e^(-x)) ですから，x が大きくなると e^x が効いて cosh(x) や sinh(x) の値はべらぼうに大きくなります． で，sin(x) や cos(x) がありますから， f(x) の関数値は正になったり負になったりするでしょう． つまり，x が少し変化するとき， f(x) の値は 10^10 から -10^10 まで変化する， などということが起こります(数値は，例えば，ということです) これではグラフはまともに描けません． 諸悪の根元は e^x がどんどん大きくなることにありますから， e^x で割っておけば良いわけです． e^x はゼロになりませんから，方程式としては f(x) = 0 も f(x)/e^x = 0 も同じことです． g(x) = f(x)/e^x のグラフなら，f(x) の時みたいなことは起こりません． ただし， cosh(x)/e^x という表現にしますと， べらぼうに大きな値 cosh(x) をやっぱりべらぼうに大きい e^x で割る， ということになり，数値処理上のトラブルの元です(ここらへんは処理系に依存します)． cosh(x)/e^x を書き直して cosh(x)/e^x = (1/2) (1+e^(-2x)) としておけば， そういう問題は起こりません． 式の上では等価な表現でも，数値計算をするときは多少注意が必要です．
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- grothendieck
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ExcelでNewton法をするには次の様にするとできます。 (1) 1列目のセルA1 に解の初期値を入力する。 (2) 解きたい方程式が f(x)=0 であるとき、2列目のセルA2 に =A1-f(A1)/f '(A1) を数式として入力する。 (3) ドラッグアンドコピーで２列目の数式を繰り返しの回数だけ 下のセルにコピーする。 ここでf(x)=cos(x)sinh(x)+sin(x)cosh(x)+x*(cosh(x)cos(x)-1) とすると f '(x)=3cosh(x)cos(x)-x*cosh(x)sin(x)+x*sinh(x)cos(x)-1 なのでA1, B1, C1,…のセルに PI()/2, 3*PI()/2, 5*PI()/2…と入力し、A2 に =A1-(COS(A1)*SINH(A1)+SIN(A1)*COSH(A1)+A1*(COSH(A1)*COS(A1)-1))/(3*COSH(A1)*COS(A1)-A1*COSH(A1)*SIN(A1)+A1*SINH(A1)*COS(A1)) と入力し、他のセルにコピーするとできます。
- grothendieck
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No.3 の回答は(cosh(x)*cos(x)-1) を(cos(x)*cos(x)-1)と見誤ったための間違いでした。さてxが少し大きくなるとsinh(x)やcosh(x)がかかっていない項を無視すると cos(x)*sinh(x) + (sin(x)+x*cos(x))cosh(x) = 0 で近似できるでしょう。さらにsinh(x) とcosh(x) をほぼ等しいとすると x = -1 - tan(x) y=x と y= -1 - tan(x) のグラフを書くと分かるように交点はほぼ-tan(x)が発散する x= π/2, 3π/2, 5π/2, … になります。 x=0 以外の解の第1近似としてはこれを取るのがよいでしょう。これを初期値としてニュートン法で計算すると x= 1.71081, 4.89277, 7.96446, … となりました.
- grothendieck
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下の私の回答は誤りです。申し訳ありません。やり直します。
- grothendieck
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xが少し大きくなるとsinh(x)やcosh(x)は x*(cos^2(x)-1)より圧倒的に大きくなるから方程式は cos(x)*sinh(x) + sin(x)*cosh(x) = 0 で近似できるでしょう。さらにsinh(x) とcosh(x) をほぼ等しいとすると cos(x) + sin(x) = √2 sin(x + π/4) = 0 より x= 3π/4, 7π/4, 11π/4, 15π/4, … x=0 以外の解の第1近似としてはこれを取るのがよいでしょう。これを初期値としてニュートン法で計算すると x= 2.09422, 5.31304, 8.63829, 11.7810 … となりましたが…
- siegmund
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siegmund です． > Excelで解く場合はどのようにやればよろしいんでしょうか？ ツール => ソルバー でできるようですが， 私は使ったことがありません． 詳しい方，よろしくお願いします． f(x) のグラフを描いてみると様子がわかるはずですが， No.1 で書きましたように，関数値は指数関数的に増えて値が爆発するので， f(x) そのものではなく g(x) ≡ f(x) / e^x のグラフを描くのがよろしいでしょう． 単に cosh(x)/e^x としてしまってはトラブルの元ですから cosh(x)/e^x = (1/2){1+e^(-2x)} のように書き換えておくのがベターと思います．
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
面倒なので λl の代わりに x と書きます． 一目見てわかることは ○ x=0 が解になっている． ○ 正負対称の解がある(x=a が解なら x=-a も解) ですが，もちろん一般解を求めるのは不可能です． 以下，x>0 に話を限り， 方程式の左辺を f(x) とします． x が大きいとき sinh(x) ～ cosh(x) ～ (1/2)e^x ですから， 式の形からして f(x) は非常に激しく振動する関数になっていて おそらく無限個の解があるでしょう． 手抜きで Mathematica の FindRoot にやらせました． 0 に近い解(10 以下のもの)は x=0, 1.71888, 4.89277, 7.96446, ... でした．
補足
Mathematicaなどは全く分からなくExcelしか分からないのですが、Excelで解く場合はどのようにやればよろしいんでしょうか？
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