[微分積分] 数列の極限と収束について
- 定理:数列 a_n = ( 1 + 1/n )^n が収束することを証明する。
- 証明の3行目から4行目の変形を理解するのに困っています。
- どなたか教えてください!
- ベストアンサー
[微分積分] 数列の極限
以下の定理の証明の3行目から4行目の変形が分かりません。どなたか教えてください! ------------------------------------------------ [定理] a_n = ( 1 + 1/n )^n のとき、{a_n} は収束する。 ------------------------------------------------ (1行目) [証明] 二項定理によって (2行目) a_n = ( 1 + 1/n)^n (3行目) = 1 + nC1( 1 / n ) + nC2 ( 1 / n^2 ) + ・・・ + nCn ( 1 / n^n ) (4行目) = 1 + 1 + ( 1 / 2!) *( 1 - 1 / n ) + ・・・ + ( 1 / n!)*( 1 - 1 / n ) (5行目) ・・・ ( 1 - (n - 1) / n )
- yossy_taq
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- 数学・算数
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第i項の場合を考えてみましょう。 nCi(1/n)^i = n(n-1)(n-2)…(n-i+1)/i(i-1)(i-2)…2・1・nnn…n =(1/i!)*(1-1/n)(1-2/n)…(1-i/n) >=(1/i!)*(1-1/n) となります。 解答は不等号になっていませんか?
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- arukamun
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組み合わせ nCr = (n!)/(r!*(n-r)!) ですね。
お礼
arukamunさん、回答ありがとう! さすがにそれは知ってます(^^;) それだけじゃ疑問は解決しないけれど、答えてくださったことに感謝!ありがとうございました。
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お礼
nablaさん、適切な回答ありがとうございました! おかげさまで解決しました。
補足
「>=」(1/i!)*(1-1/n) になりますよねえ。 「=」にはなりませんよね。 確かに以下の証明の続きでは不等号が登場してます。 ----------------------------------------------- 証明の続きは・・・ (6行目) 同様に、 a_(n+1) = ( 1 + 1/(n+1) )^(n+1) (7行目) = 1 + 1 + ( 1 / 2!)*( 1 - 1 / (n+1) ) + ・・・ + ( 1 / n!)*( 1 - 1 / (n+1) ) (8行目) + ( 1 / (n+1)!)*( 1 - 1 / (n+1) ) (9行目) a_n と a_(n+1) を比較すると、第3項から第n+1項の対応する項同士はa_(n+1)の 方が大きく、しかも a_(n+1) の最後の項が残っているから、 (10行目) a_n < a_(n+1) (11行目) また、(2~4行目)の式より (12行目) a_n < 1 + 1 + 1 / 2!+ 1 / 3!+ ・・・ + 1 / n! (13行目) < 1 + 1 + 1 / 2 + 1 / 2^2 + ・・・ + 1 / 2^(n-1) (14行目) = 1 + 2*( 1 - 1 / 2^n ) (15行目) = 3 - 1 / 2^(n-1) (16行目) ∴ a_n < 3 ( n = 1, 2, ・・・ ) (17行目) よって、{ a_n } は単調に増加する数列であるから、 定理「有界な単調増加する数列は収束する」 によって { a_n } は収束する。 (18行目) この数列 { a_n } の極限値を e とおく。すなわち、 (19行目) e = lim ( 1 + 1 / n )^n = 2.71828182845904・・・ [終] n→∞