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慶應義塾大学 2009年入試問題:x-yの最大値を求める方法
think2ndの回答
- think2nd
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> これは0<x≦2で満たされ、この領域をy=x-pが通るとき、pが最大値となる場合は、 > y=x-pがy=x(1/4)^3に、0<x≦2で接するときである。 この2行がどうもしっくりいきません。式 y=x-pを傾き1でy切片が-pの直線の方程式と勘違いされていませんか。 x,yは3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉・・(1)を満たしながら動くのですから、x,yは(1)を満たす、互いに独立な、変数たちです。いいかえると(1)を満たす、x,yが存在しさえすればいいということです。たとえばx=Y=0としても(1)が成り立ちます。x-y=k・・・(2)とおくとyはxの従属関数ではありませんからyはxの関数になりません。したがって、あなたの解答手順には、doubtです。 inf・・さんの与式変形を借りますが、 x^3≦4y≦2x^2 に(2)をy=x-kとして代入して整理すると、 x^3-4x≦-4k≦2x^2-4x (0<x≦2) となります。f(x)=x^3-4xのグラフは0<x<2の範囲で 2x^2-4xのグラフより常に下側にありますから-4k(x軸に平行な直線と見ててただいても結構です。)がf(x)の値以上にあれば(1)を満たすx,yが存在します。(←実際グラフを書いてシミュレーションしないとイメージが取れないかも・・なぜってxが存在してもyがたくさんあるからです。) すなわち0<x≦2の範囲でf(x)のグラフより-4kが上にあれば十分です。f(x)の最小値が(微分してグラフを書けば)-16/(3√3)ですから、 -16/(3√3)≦-4k(≦0) ∴ k≦4/(3√3) だから 最大値が4√3/9となるのではないでしょうか。大切なことはこの時のx,yの値を明記することです。x-yの最小値を要求していないのがなんとなく理解できますね。 どうももっとエレガントな解法がある気がします。 Math-travelerさんには、trable-makerになってしまいました。失礼しました。
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