慶應義塾大学 2009年入試問題:x-yの最大値を求める方法
- 慶應義塾大学の2009年入試問題で、x,yが条件を満たす範囲で動くとき、x-yの最大値を求める方法について説明します。
- 条件を変形し、真数の大小関係を利用してyの範囲を求めます。また、xとyの関係式を用いて最大値を求める方法を解説します。
- 最大値を求めるための手順を示し、正しい方法であるかどうか確認します。また、他の解法がある場合についても教えてください。
- ベストアンサー
2009年慶應義塾大学の入試問題です。
x,yは3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉を満たしながら動く。 x-yの最大値を求めよ。 真数条件よりx>0、y>0 3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1を変形して、3log_2(x)-log_2(y)≦2 log_2(x^3/y)≦2=log_2(4) 真数の大小関係よりx^3/y≦4、すなわちy≧(1/4)x^3 log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉を同様の要領で変形して、y≦(1/2)x^2 これは0<x≦2で満たされ、この領域をy=x-pが通るとき、pが最大値となる場合は、 y=x-pがy=x(1/4)^3に、0<x≦2で接するときである。 y=(1/4)x^3で、y'=(3/4)x^2より、x=2/√3で傾きが1となり、接点は(2/√3 , 2/3√3) y=x-pに代入して、p=4√3/9 これがxーyの最大値。 手順はこれで正しいでしょうか。 もっといい方法がありましたらご教授ください。
- math-traveler
- お礼率37% (3/8)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数8
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>手順はこれで正しいでしょうか。 だいたい良いでしょう。 答えは合っています。 >もっといい方法がありましたらご教授ください。 解答は、省略しすぎな箇所やくどすぎる箇所があったりして多少の減点があるかも知れません。 不等式を満たす点(x,y)の存在領域R={(x,y)|x^3/4≦y≦x^2/2,x>0,y>0}のグラフの概形を描いて,x-y=pが領域Rを通るpの範囲が0≦p≦p(max)であり、p(max)はグラフから y=x-pがy=x^3/4(0<x<2)で接する条件から,接点の座標(x,y)とp=x-yの最大値p(max)=4(√3)/9を求めるといった内容の説明をした方がいい気がします。 不等式そのものは以下のようにシンプルに解いてもよいですね。 3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉 対数の真数条件から x>0, y>0 不等式を変形すると log_2 ((x/2)^3)≦log_2 (y/2)≦log_2 ((x/2)^2) 対数の底2>1なので対数の大小関係は真数の大小関係と一致するから (x/2)^3≦y/2≦(x/2)^2 (1/4)x^3≦y≦(1/2)x^2 (x>0, y>0) と得られ、これを満たす点(x,y)を不等式の解領域として図示して、 それ以降のx-y=pの最大値を求める問題に進めると良いですね。
その他の回答 (4)
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
No3です、大切な個所をまちがえました、(1)を満たすx,yとして、x=y=0としましたが、x=y=2の間違いです。訂正してお詫びいたします。
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
No3です、大切な個所をまちがえました、(1)を満たすx,yとして、x=y=0としましたが、x=y=2の間違いです。訂正してお詫びいたします。
- think2nd
- ベストアンサー率63% (23/36)
> これは0<x≦2で満たされ、この領域をy=x-pが通るとき、pが最大値となる場合は、 > y=x-pがy=x(1/4)^3に、0<x≦2で接するときである。 この2行がどうもしっくりいきません。式 y=x-pを傾き1でy切片が-pの直線の方程式と勘違いされていませんか。 x,yは3〈log_2(x)-1〉≦log_2(y)-1≦2〈log_2(x)-1〉・・(1)を満たしながら動くのですから、x,yは(1)を満たす、互いに独立な、変数たちです。いいかえると(1)を満たす、x,yが存在しさえすればいいということです。たとえばx=Y=0としても(1)が成り立ちます。x-y=k・・・(2)とおくとyはxの従属関数ではありませんからyはxの関数になりません。したがって、あなたの解答手順には、doubtです。 inf・・さんの与式変形を借りますが、 x^3≦4y≦2x^2 に(2)をy=x-kとして代入して整理すると、 x^3-4x≦-4k≦2x^2-4x (0<x≦2) となります。f(x)=x^3-4xのグラフは0<x<2の範囲で 2x^2-4xのグラフより常に下側にありますから-4k(x軸に平行な直線と見ててただいても結構です。)がf(x)の値以上にあれば(1)を満たすx,yが存在します。(←実際グラフを書いてシミュレーションしないとイメージが取れないかも・・なぜってxが存在してもyがたくさんあるからです。) すなわち0<x≦2の範囲でf(x)のグラフより-4kが上にあれば十分です。f(x)の最小値が(微分してグラフを書けば)-16/(3√3)ですから、 -16/(3√3)≦-4k(≦0) ∴ k≦4/(3√3) だから 最大値が4√3/9となるのではないでしょうか。大切なことはこの時のx,yの値を明記することです。x-yの最小値を要求していないのがなんとなく理解できますね。 どうももっとエレガントな解法がある気がします。 Math-travelerさんには、trable-makerになってしまいました。失礼しました。
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
>もっといいかどうかわかりませんが、 x-y=kとおいてy=x-kを(1/4)x^3≦y≦(1/2)x^2 に代入し、x>0の条件でこれを満たすkを計算すると、 図を描かなくても1/2≦k≦4√3/9が得られます。
関連するQ&A
- 楕円の接線の問題
楕円の接線の問題 (1)接線の勾配は、楕円の方程式 ..... (x/a)^2+(y/b)^2=1 をxで微分することで求めることができます。 微分すると、 .....2(1/a^2)x+2(1/b^2)y(dy/dx)=0 です。これを変形すると、 ......dy/dx=-{(a^2)x}/{(b^2)y} となりますので、点Pの勾配は(x,y)=(p,q)を代入して .......-{(a^2)p}/{(b^2)q} ……(1) です。 ------------------------ (2)点Pを通り接線に垂直な直線は、傾きが(1)の逆数であることから、 ........y-q={(b^2)q}/{(a^2)p}・(x-p) ……(2) となります。 -------------------------- (3)式(2)のyに0を代入して、xについて解くと、交点Xのx座標が .......x=p{1-(a/b)^2} であると分かります。 式変形はこれであっていますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学院入試の微分方程式の問題がわかりません!
問題の式を書くとややこしいので画像を添付しました。 【初期条件: y(0)=y0,y'(0)=y1】 画像の微分方程式について (1) 変数変換 u=( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け (2) (1)で導いた微分方程式を解くことで、元の微分方程式の解yを求めよ (3) 【x→∞】lim y(x)を計算せよ また、【x→-∞】lim y(x)が存在するためのy0,y1の条件を求めよ (1)の変数変換を行うときに uを微分してu' u'' を出し それらをy y' y'' の式に直して代入すればできると思うのですが その変形がややこしすぎて何回やっても間違えてしまいます そこで知識ある皆様のお力をお貸しいただければと思い質問しました。 何卒よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数関数です(基礎知識重視問題)
対数関数について教えてください。 問 次の不等式の表す領域を答えよ。 logxY≦logyX 底の条件や真数条件で場合わけをしてみたのですが・・・ 不正解で解答をみてみると、 底・・・0<x<1またはx>1 真数・・・0<Y<1またはY>1 だったのですが、なぜ真数条件というものは正の数なのに 解答では1を含めていないのですか? 問題の解答解説を含めて分かりやすく教えていただけたら ありがたいです おねがいします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数の問題
高校の対数の問題がわからないので教えてください(答えまでなくても方針やヒントだけでも構いません。 (I)x^2+(log25)x+log(5/2)=0 の二つの解をα、βとする。(α<β)底は10である。次の値を求めよ。 (1)α (2)10^α+10^β (3)10^(αーβ) (1)は二次方程式を解いてα=ー1を出しました。(2)(3)をどうやって求めればよいのかわかりません。。。 (II)自然数a,bについてa^(5/2)b^(3/2)の整数部分が6桁で、a^(3/2)b^(-5/2)は1より小さく、少数第6位にはじめて0でない数字が現れる数のときa,bの桁を求めよ。 これは 10^5<a^(5/2)b^(3/2)<10^6 10^(-6)<a^(3/2)b^(-5/2)<10^(-6) としてそのあと全くわかりません。。。 (III)log(x^2+y^2-sin^2θ)>log(cos^2θ-x^2-y^2) 底はa の表す領域が存在する時のθを求めこの領域の面積をθで表せ。 (0<=θ<π) θの範囲は真数条件から0<=θ<π/4 3π/4<θ<πと出せました。でも面積がわかりません。。。 どれか一つでもよいのでヒントなり解答なり教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大値の問題
p,qは実数、2つのグラフ y=e^xとy=log(x-p)+q のグラフがただ一つ共有点をもつとき、2p-qの最大値を求めよ。 次のように考えました。どこが間違っているのかよく分かりません。 ご指摘ください。 共有点のx座標をx=tとする。2つのグラフはx=tで接することから、 (1)・・e^x=1/(t-p) , (2)・・e^x=log(t-p)+q (1)と(2)から、t^2-(p+q)t+pq+1=0 この解が t>pに存在するから、 ア・・軸 (p+q)/2<pのとき、解存在しない イ・・軸 (p+q)/2>pのとき、 判別式=(p+q)^2-4pq-4>=0 よって、pとqの条件をもとめると、q>p+2 この領域で、2p-qを求めようと考えましたが、当然最大値は決まりません。どこが間違っているのかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 宇都宮大学の入試問題です。
座標平面において、不等式y≧x2の表す領域をDとし、D内の点(a,b)に対して連立不等式y≧x2、x≧a,b≧yの表す領域をE(a,b)とする。このとき問いに答えよ。 (1)領域E(a,b)の面積Sをaとbを用いて表せ。 (2)曲線4y=(x+1)2上の点(2t-1,t2)が領域D内を動くとき、実数tのとり得る値の範囲を求めよ。 (3)問2で求めた範囲のtに対して、領域E(2t-1,t2)の面積を\f(t)とするとき、関数f(t)をtの式で表せ。 (4)問3で定めた関数f(t)の最大値を求めよ ※お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど、手順に追われると論述が雑になってしまいますね。 ありがとうございます。