改めて、2次関数の平行移動。

質問

皆様宜しくお願い申し上げ致します。

2x2は、2xの2乗と理解して頂きたく思います。
昨日大変親切な方から解答を頂いたのですが、説明が数式ばかりで高校生の僕には結局理解出来ませんでした。
僕の数学的経験が浅いのが原因だと思います。

質問をさせて頂きます。
以下の文章は、数研の日本一難しい教科書の一節です。

放物線y=2x2をFとする。Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとすると、Gの方程式が
y=2(x－3)2+4 すなわちy－4=2(x－3)2
になることは、既に学んだ。

此処までは理解出来ております。

このことは、次のように考えてもわかる。

以下の文章が僕には理解出来ません。

G上に任意の点P(x,y)をとり、上で述べた平行移動によってPに移されるF上の点を
Q(X,Y)とすると
x=X+3, y=Y+4
すなわち X=x－3,Y=y－4
点QはF上にあるから Y=2X2
この式のXにx－3を、Yにy－4を代入すると y－4=2(x－3)2

此処までは理解出来ます。

僕の考えでは、
点Q(X,Y)はあくまでも放物線F上にあるから、
Y=2X2
此処で、
X=x－3,y=y－4を、グラフF上の点Q(X,Y)に代入するのだから、代入し終わった
点Qの座標は、(x－3,y－4)
改めて、点QはグラフF上にあるのだから、
グラフFの方程式、
y=2x2
に、グラフF上の点Q(x－3,y－4)を代入するのだから、
y－4=2(x－4)2は放物線Fの方程式
と考えてしまいます。

教科書の記述では、
これは放物線Gの方程式である。
と書いて有ります。

何処が僕の数学的論理が間違っているのでしょうか？
何方か、数式だけで無くて、日本語も含めて説明して頂けると有り難いです。
是非是非宜しくお願い申し上げ致します！

回答No.2

DJ-Potato · ベストアンサー

xとかyとか、文字を使い回すから混乱するんですね。

放物線F上の点を(Fx,Fy)
放物線G上の点を(Gx,Gy)としましょう。

Fy=2×Fx^2
Gy=2×(Gx-3)^2+4ですね。

点Pは放物線G上の点なので、P(Gx,Gy)と置けます。
放物線F上にある点Qは、Q(Fx,Fy)と置けます。

Fx=Gx-3, Fy=Gy-4になります。
放物線Fの方程式はあくまでFy=2×Fx^2です。
これにGxやGyを代入したGy-4=2×(Gx-3)^2は、この通りGxとGyで表されているので、放物線Gの方程式になります。

どうでしょうか。

お礼

大変分かり易かったです。
No.3さんのも分かり易かったですが、No.2さんの方が、単純明解。
やっと教科書の記述の説明が分かりました。
本当に有難う御座居ました。

回答No.3

tmpname

では、似たようなx, y, X, Yとかいうのを一旦使うのは辞めて
「関係を求めよ」と言われると分るの？

放物線y=2x^2をFとする。Fをx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動して得られる放物線をGとする。

A. F上の点(a, b)を取るとき、『aとbとの関係』を求めよ。
B. F上の点(a, b)をx軸方向に3,y軸方向に4だけ平行移動した点が(c, d)であったとき、
a及びbをc, dを用いて表せ。
C. G上の点(c, d)を取るとき、A, Bを用いて『cとdとの関係』を求めよ。
D Gの方程式を求めよ。

お礼

A.点(a,b)は放物線y=2x∧2上に有るので、
b=2a∧2ー(1)
B.a=c-3ー(2)
b=d-4ー(3)
C.(1)、(2)より
b=2(c-3)∧2ー(4)
(3)、(4)より
d-4=2(c-3)∧2
c,dは放物線G上の点
故に、放物線Gの方程式は
y－4=2(x－3)∧2
分かりました。
有難う御座居ました。

回答No.1

trytobe

「2xの2乗」は (2x)^2 と書いた方が伝わりやすいので、そのように書き換えてこれまでの質問への回答に補足・お礼するとともに、書き直したバージョンでの質問をしたほうがよいと思います。

記法が統一されていない状態で、互いに説明をしようとしてもかみ合わないのは当然ですので。

お礼

分かりました。