R^nからRへの関数fとgの関係性についての問題
- R^nからRへの関数fとgの関係性についての問題を解決する方法
- 問題の意味を理解し、関数fとgの関係性を示す証明方法について解説します
- 問題の表現方法についての解釈と解法の提案
- ベストアンサー
問題の意味がよく分かりません。どなたか助けて下さい
問題文は以下のURLの第1問＞問題1＞(2)です。 http://www.gsm.kyoto-u.ac.jp/images/education/kakomon/23sugaku.pdf 一応、以下にも書いておきます。 「(x1, …, xn)∈R^n → y ∈ R を y = √(x1^2 + x2^2 + … + xn^2)で定義する定義する。このとき、f：R^n → R と g：R → R に対して、g(y) = f(x1, …, xn) ⇒ Σ∂^2 f/∂xi^2 = d^2 g/dy^2 + {(n-1)/y} ・ dg/dy が成立することを示せ。」 ここでの「f」は、(x1, …, xn) を y = √(x1^2 + x2^2 + … + xn^2) に変換する関数と捉えればよいのでしょうか？ そう考えると、「g(y) = f(x1, …, xn)」が成り立つとき、g(y) = y ということになりますか？ この解釈の下でやってみると一応証明できたのですが、解釈が合っているかが全く自信がありません。 どうぞよろしくお願いします。
- yppon
- お礼率16% (16/99)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
> ここでの「f」は、(x1, …, xn) を y = √(x1^2 + x2^2 + … + xn^2) に変換する関数と捉えればよいのでしょうか？ いいえ、ちがいます。 xとyの関係は固定されていて、「g(y) = f(x1, …, xn)」となるような任意のgやfに対して「⇒」の右側が成り立つことを示せと言っています。 ただ、gが2階微分可能とかfの2階偏導関数が存在するとかいう仮定（関数のクラスの指定）くらいは要りそうですけどね。
その他の回答 (1)
fやgを求める必要はなく、機械的に連鎖律を使って計算すればいいです。 具体例としては、重力やクーロン力など中心力によるポテンシャルとか。
関連するQ&A
- 微積分の証明問題についての質問です。
微積分の証明問題についての質問です。 xの2乗をx^{2}のように表しています。 f:R^{n} → R , p∈R とする。 fが微分可能のとき、次の(1),(2)が同値であることを示せ。 (1)任意のα＞0 と(x1,x2,…,xn)∈R^{n} に対して、 f(αx1,αx2,…,αxn) = α^{p}f(x1,x2,…,xn) …(※) (2)任意の(x1,x2,…,xn)∈R^{n}に対して、 Σ[k=1,n]xk{∂f(x1,x2,…,xn)/∂xk} = pf(x1,x2,…,xn) …(♯) ヒントとして、 ・(1)⇒(2) (※)の両辺をαで微分して、α=1とおく。 ・(2)⇒(1) F(x1,x2,…,xn,α) := α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn) を考えて、 ∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0 を示せ。 が与えられています。アドバイスお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ６重積分の発散のオーダーの問題です。
S_n =∫_{-∞→∞}dx1∫_{-∞→∞}dx2∫_{-∞→∞}dx3∫_{-∞→∞}dy1∫_{-∞→∞}dy2∫_{-∞→∞}dy3 H(x,y) ただし x とyは３次元ベクトルで x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3), H(x,y)=Σ_{i=1, 2, 3}H_i(x,y). H_i(x, y)={I_[a, n](|x|) I_[a, n](|y|)}/{f(x)f(y)}(xi/E(x)^2+yi/E(y)^2)(1/E(x)+1/E(y)){1/G(x,y)}, ただし|x|=√(x1^2+x2^2+x3^2), I_[a, n](|x|)は定義関数で、 a≦|x|≦nのとき I_[a, n](|x|)=1, それ以外のとき I_[a, n](|x|)=0となる関数である。(a>0, n>0) また、f(x)=√(|x|^2+c^2), c>0, E(x)=|x|^2/(2m)+f(x), m>0, G(x,y)={|x|^2+|y|^2+2(x1y1+x2y2+x3y3)}/(2m)+f(x)+f(y)であるとする。 n→∞のときのS_nの発散のオーダーを求めてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- convolution について
convolution f*g の定義を f,g∈L^1(R^N) に対して f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy としてありました。 f*g = ∫f(x-y)g(y)dy において x-y = t とおいて置換積分すると ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(t)g(x-t)(-dt) =-∫f(t)g(x-t)dt tをyと見れば、 f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = -∫f(y)g(x-y)dy となる気がします。 定義式の符号に - がないのはなぜですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合Ｓがディオファントス的の意味を教えて下さい。
定義 自然数Ｎ個の組の集合Ｓが”ディオファントス的である”とは、 整数係数の多項式Ｐ (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym) があって、 集合Ｓは (x1, x2, ..., xn) を含む ＜＝＞ 自然数の組 (y1, y2, ..., ym) があり、P (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) ＝０となることである と定義する。 とありますが、 理解出来ません。 わかる方、 よりわかりやすく教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。
以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。 n,kを正の整数、x1,x2,・・・・,xnを正の実数とする。このとき x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k≧((x1＋・・・＋xn)^k)/n^(k-1) ・・・・・(#) が成立することを示せ。 (説明)普通は数学的帰納法で示す(模範回答で確認済み)が、ここでは少し見方を変えて示す。 まずk=1のとき (#)の右辺,左辺ともにx1＋・・・・＋xnで等号成立する。 以降k≧2とする。 まずx1=・・・・・=xn=aのとき (#)の右辺,左辺ともにna^kで等号成立する。 次に0<x1<x2≦x3≦・・・・・≦xnとする。 (#)の両辺に1/nをかけて (x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k)/n≧((x1＋・・・＋xn)/n)^k ・・・・・(##) を示す。 ここでx1,・・・,xnの平均xa=(x1＋・・・＋xn)/nとし、区間[x1,xn]内で任意にx2,x3,・・・ ・,x(n-1)を(x1,xnを先に定めて)プロットする。そして f(x)=x^k (k≧2)について考える。またx1<xa≦xnである。 g(x)を(xa,f(xa))についての接線の方程式とすれば f(xa)=(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n である。 さらにf(x)は区間[x1,xn]において下に凸だから f(x1)>g(x1),f(x2)≧g(x2),・・・,f(xn)≧g(xn) が成り立つ。 したがって (f(x1)＋・・・・＋f(xn))/n ＞(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n=f(xa) となる。 よってxa=(x1＋・・・＋xn)/n ,f(x)=x^k から (##)が言えて、(#)が以上から成り立つことが言えた。 模範解答にもこの方法は載っておらず、独自で思いついて示しました。この証明方法でも良いですか？ ここのポイントはy=f(x)=x^kと(xa,f(xa))についての接線の方程式を考えればうまく応用できるというところです。問題は間違っていないかどうかですが自分でも面白く感動しました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学
２つの写像 f=(f1,f2) 、 g=(g1,g2) : R^2→R^2 を f(x1,x2) =(f1(x1,x2) , f2(x1,x2)) =(x1+x2 , x1x2) (∈R^2) for (x1,x2)∈R^2、 g(y1,y2) =(g1(y1,y2) , g2(y1,y2)) =(1/2{y1-|(y1)^2-4y2|^(1/2)} , 1/2{y1+|(y1)^2-4y2|^(1/2)} (∈R^2) for (y1,y2)∈R^2 によって定義し、 X={(x1,x2)∈R^2 | x1≦x2} ,Y={(y1,y2)∈R^2 | (y1)^2≧4y2} (⊂R^2) とおく。 ----- (1) f(R^2) ⊂Y , g(R^2) ⊂X が成り立つことを示して下さい。 (2) 写像f~ : X→Y 、g~ : Y→X を f~(x1,x2)=f(x1,x2) for (x1,x2) ∈X 、 g~(y1,y2)=g(y1,y2) for (y1,y2) ∈Y によって定義するとき、 f~、g~ は共に全単射であり、g~=(f~)^(-1) が成り立つことを示して下さい。 補足 証明なので丁寧に省略なしでお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学☆イデアルの問題！！
次の問題について教えてください！！ Ｎ：自然数 Ｒ：環 Ｌ，Ｍ：左イデアル ＬＭ＝｛ｘ１・ｙ１＋ｘ２・ｙ２＋・・・＋ｘｎ・ｙｎ ｜ ｘｉ∈Ｌ，ｙｉ∈Ｍ (ｉ＝１，２，・・・，ｎ)，ｎ∈Ｎ｝ ＬＭがイデアルであることを示せ。 左イデアルであることは示せたんですが、右イデアルであることが示せません。 右イデアルを示すために ａ∈ＬＭ，ｒ∈Ｒに対して ａ＝ｘ１・ｙ１＋ｘ２・ｙ２＋・・・＋ｘｎ・ｙｎ (ｘｉ∈Ｌ，ｙｉ∈Ｍ) とおくと、 ａ・ｒ＝(ｘ１・ｙ１＋ｘ２・ｙ２＋・・・＋ｘｎ・ｙｎ)・ｒ ＝(ｘ１・ｙ１)・ｒ＋(ｘ２・ｙ２)・ｒ＋・・・＋(ｘｎ・ｙｎ)・ｒ ＝ｘ１・(ｙ１・ｒ)＋ｘ２・(ｙ２・ｒ)＋・・・＋ｘｎ・(ｙｎ・ｒ） になって、 ａ・ｒ∈ＬＭを示すのにｙｉ・ｒ∈Ｍを示すのかな、と思ったのですが、 どう示すのか分りません。 やり方自体間違っているのでしょうか、それともｙｉ・ｒ∈Ｍを示す方法があるのでしょうか。教えてください！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- n次元半球面とn次元球体が位相同形であることの証明
こんにちは。tumftmkといいます。 位相についての質問です。 先日、教科書に次のような記述がありました。 Ａ＝｛（x1,x2,…,xn,xn+1）∈R^(n+1) | xn+1≧0 , (x1)^2+…+(xn)^2+(xn+1)^2=1 } （ｎ次元上半球面） Ｂ＝｛（x1,x2,…,xn）∈R^n | (x1)^2+…+(xn)^2 ≦ 1 } (ｎ次元球体) とする。 このとき、写像 ｆ を ｆ ：Ａ→Ｂ、（x1,x2,…,xn,xn+1）|→ （x1,x2,…,xn） （射影） とすると、これは同相写像である。 よってＡとＢは位相同形である。 このようにありましたので、「ｆは同相写像」をきちんと証明しようとしました。 ｆが全単射、ｆが連続 までは分かりました。 そしてε-δ論法を使ってｆの逆写像が連続になることを示そうとしましたが、うまく出来ませんでした。 （直感的には分かるのですが…） ｆの逆写像を ｆ^(-1) とすると ｆ^(-1) ：Ｂ→Ａ 、（x1,x2,…,xn,）|→ （x1,x2,…,xn, [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2) ） となります。 ｆ^(-1) が連続 ⇔ 各成分が連続 なので、（ｎ+1）成分について考えて、 ｇ ：Ｂ→Ｒ 、（x1,x2,…,xn,）|→ [1-{ (x1)^2+…+(xn)^2 }]^(1/2) の連続性さえ示してしまえば証明が終了する、というところまでは分かりました。 （残りの成分については、射影になっているので連続であることは分かります。） この g についてε-δ論法を使ってみたのですが、どのようにδをとればよいのかが分かりません。 どなたか分かるかたがいましたら解答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この問題が解けません。
この問題が解けません。 数字１、２、３、…、Ｆが１つずつ合計Ｆ枚入っている箱から、元に戻さずに１枚ずつＮ枚のカードを引く試行を考える。 ここで、２≦Ｎ≦Ｆとし、引いたカードの順に、書かれている数字をｘ1，ｘ2，ｘ3，…，ｘNとする。 （問）x1＜ｘ2＜ｘ3＜………ｘN、すなわち、Ｎ枚のカードを小さい順に引く確率Ｙを求めよ。 どのように回答が出せば良いのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学B 数列 センター向けの問題です
数列{xn}は x1=5,x(n+1)=xn+2 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。 x2=7,x3=9 であり、 xn=2n+3 である。 次に、数列{yn}は y1=3,y(n+1)=yn+2n+3 (n=1,2,3,・・・) で定義された数列である。このとき yn=n^ア+イn Σ[k=1→n]yk=(1/6)n(n+ウ)(エn+オ) である。 さらに、数列{zn}を x1,y1,y2,x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4,・・・ とし、この数列{zn}を x1|y1,y2|x1,x2,x3|y1,y2,y3,y4|・・・ のように、１個、２個、３個、４個、・・・と区画に分ける。すなわち、l=1,2,3,・・・として 第(2l-1)区画にはx1,x2,x3,・・・,x(2l-1) の項があり、 第2l区画にはy1,y2,y3,・・・,y2l の項があるように区画に分ける。 このとき、z199は第カキ区間のク番目の項であるから z199=ケコ である。また Σ[k=200→240]zk=サシスセ である。 解答 n^ア+イn=n^2+2n (1/6)n(n+ウ)(エn+オ)=(1/6)n(n+1)(2n+7) カキ=20 ク=9 ケコ=99 サシスセ=3815 この問題の解き方がわかりません 解き方を教えて下さい よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
分かるような、分からないような…難しいですね(>_<) fとは何なのか、gとは何なのかがいまいち掴めないです。 可能でしたら、証明のやり方も教えて頂けないでしょうか？