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convolution について

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  • 質問No.168121
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お礼率 83% (10/12)

convolution f*g の定義を
f,g∈L^1(R^N) に対して
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
としてありました。

f*g = ∫f(x-y)g(y)dy
において x-y = t とおいて置換積分すると
∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(t)g(x-t)(-dt) =-∫f(t)g(x-t)dt
tをyと見れば、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = -∫f(y)g(x-y)dy
となる気がします。
定義式の符号に - がないのはなぜですか?
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

> f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
この積分はどちらもたとえばy=-∞~∞の定積分でなくちゃいけません。

nanjamonjaさんが仰っている通り、
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=∞~-∞の定積分)
であり、従って、
f*g = ∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=-∞~∞の定積分)
なの。

 また、周期的コンボルーションの場合にも、
f*g = ∫f(x-y)g(y)dy = ∫f(y)g(x-y)dy
の積分がどちらもたとえばy=-π~πの定積分であり、置換をやると
f*g = -∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=π~-πの定積分)
  = ∫f(y)g(x-y)dy (積分はy=-π~πの定積分)
ということになります。
お礼コメント
ugoo

お礼率 83% (10/12)

yについての定積分だったんですか・・・
本には積分領域がかかれてなかったので不定積分と思っていました。
ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-11-14 10:23:26
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

 置換すると、積分区間(-∞,∞)が逆になるので戻すと-が出てきます。 ...続きを読む
 置換すると、積分区間(-∞,∞)が逆になるので戻すと-が出てきます。
お礼コメント
ugoo

お礼率 83% (10/12)

なるほど、確かにそうですね。
よくわかりました。
ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-11-14 10:28:38


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