有理数の部分集合が開集合でない事の証明

質問

有理数全体の集合をQとし、このいかなる部分集合(Aとします)も開集合でないことを証明したいのですが、あと一歩のところで躓いています。

開集合の定義は
∀a∈A,∃δ>0,s.t δ-Ball B(a;δ)⊂A
ですので
否定命題
∃a∈A,∀δ>0,s.t B(a;δ)はAから出てしまう。
を示そうと考えました。(⊂の否定が出力できませんでした…)

実数全体は有理数全体と無理数全体で出来ていて、
実数のほとんどは無理数。
従って有理数のすぐ隣は無理数である。
∴B(a;δ)はAから出てしまう。

このように回答したいのですが「有理数のすぐ隣は無理数である」これをどのように数学的に表現したらよいかわかりません。
わかる方いらっしゃいましたらご教授をお願いします。

回答No.5

noname#199771 · ベストアンサー

√2は無理数。
任意のε>0に対して、ある有理数bがあって
√2-ε<b<√2
∴a<a+(√2)-b<a+ε
a,bは有理数なのでa+(√2)-bは無理数。

みたいなことを聞いてるんですか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

>みたいなことを聞いてるんですか？
はい。まさしくこのような回答をお待ちしておりました。

ありがとうございました。

回答No.4

MagicianKuma

>開集合の定義は∀a∈A,∃δ>0,s.t δ-Ball B(a;δ)⊂Aですので・・・
と書かれているので、実数上の距離空間（R,d)のことと想像はできますが、省略しすぎです。
そうだとして、Rの部分集合Aが(A⊂Q⊂R)が開集合でないことを証明したいのですね。
>「有理数のすぐ隣は無理数である」
これはさすがに曖昧すぎる表現でしょう。区間(a-δ,a+δ)中に無理数があることを言えば良いのではないかい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問は
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数があること
を言いたいが、どのように説明したら良いかがわからないので教えていただきたい。」
ということを書きたかったのですが、書き方が悪く正確に伝わらなかったようなので訂正いたします。

さらに、実際には
d:R×R→R,d(x,y)=|x-y|と定義し、
距離空間E=(R,d)の部分距離空間として有理数全体の集合Qと整数全体の集合Zを考え、
f:Q→Zと定義し、
fが連続でないことの証明をしたかったのです。

ANo.2の仰る集合は開集合です。
Zの空でない任意の開集合Ｏに対して、f(O)^-1がQの開集合であればfは連続ですが、
この命題の否定をとる過程で、(お恥ずかしい話ですが)論理式の変形を間違えてしまったようです。
なので、質問分の「いかなる部分集合Aも開集合ではない」ではなく「開集合でない部分集合Aが存在する」ことを示したかったのです。

できるだけ自分の力で考えたいを思い、自分なりに問題を進め、その過程を省略してしまった為に抽象的な主旨の質問になってしまったことを反省しています。

長くなってしまいましたが
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数がある」の示し方を教えてください。
この一点だけ、お答えいただくことはできませんでしょうか。

回答No.3

stomachman

最初に書いてある「開集合の定義」の式はまるで意味不明、どこで区切るのかすら分からんへんちくりんな文字列に過ぎないので、無視することにします。
　で、「Qのいかなる部分集合も開集合にならないような位相」というものを考えようという話なのかな？
　というのは、aの近傍U(a,δ)を
　　U(a,δ) = { x | a-δ< x < a+δ}
として、有理数の集合に関する開集合の定義を、普通に
　　∀a(a∈A ⇒ ∃δ(δ∈Q ∧ δ>0 ∧ U(a,δ)⊂A))
とするなら、ANo.2の集合は明らかに開集合である。
　だから、これが開集合ではなくなるように、何か普通でない開集合の定義あるいは近傍の定義を考えよう、という話をなさっているんだろうか。そうだと考えない限り、ご質問の辻褄が合いません。

　ですが、

> 実数全体は有理数全体と無理数全体で出来ていて、
>実数のほとんどは無理数。
>従って有理数のすぐ隣は無理数である。
>∴B(a;δ)はAから出てしまう。

　こういう変なことを仰るということは、おそらく（「何か普通でない開集合の定義あるいは近傍の定義を考えよう」なんて高級な話じゃなくて、単に）「ANo.2の集合は普通の意味で開集合になっている」というアタリマエのことがソモソモお分かりでないだけ、なのでしょう。

> 「有理数のすぐ隣は無理数である」

　この曖昧な文がおそらく言わんとしているであろうキモチは、命題としては「相異なる2つの有理数の間には無理数が存在する」と表現できて、すなわち
　　∀p∀q(p∈Q ∧ q∈Q ∧ p>q ⇒ ∃x(x∈R ∧ x∉Q ∧ p>x>q))
と書けるでしょう。（∵ たとえばx=p-(p-q)/√2とすれば良い。）
　ですが、そんなもん、ご質問の証明とは何の関係もありません。なぜなら、Aとして有理数の集合だけを考えているんですから、無理数なんかに出番がないのは当然。そして、この証明に関係があるのは「相異なる2つの有理数の間には有理数が存在する」
　　∀p∀q(p∈Q ∧ q∈Q ∧ p>q ⇒ ∃x(x∈Q ∧ p>x>q))
という定理です。（∵ たとえばx=(p+q)/2とすれば良い。）
　ANo.2の集合の場合を例にとると、もしかすると、Aの最小の要素（あるいはAの最大の要素）の近傍について考えていらっしゃるのかも知れません。しかし、ANo.2の集合Aに最小の要素はありません。なぜなら、pをAの要素だとすれば、二つの有理数0とpの間にあるp/2もまたAの要素であって、しかもp/2 < pだからです。もちろん、Aには最大の要素もありません。（その証明はご自分でやってみて下さいな。）ですから、そういう考え方は根本的に間違っています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問は
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数があること
を言いたいが、どのように説明したら良いかがわからないので教えていただきたい。」
ということを書きたかったのですが、書き方が悪く正確に伝わらなかったようなので訂正いたします。

さらに、実際には
d:R×R→R,d(x,y)=|x-y|と定義し、
距離空間E=(R,d)の部分距離空間として有理数全体の集合Qと整数全体の集合Zを考え、
f:Q→Zと定義し、
fが連続でないことの証明をしたかったのです。

ANo.2の仰る集合は開集合です。
Zの空でない任意の開集合Ｏに対して、f(O)^-1がQの開集合であればfは連続ですが、
この命題の否定をとる過程で、(お恥ずかしい話ですが)論理式の変形を間違えてしまったようです。
なので、質問分の「いかなる部分集合Aも開集合ではない」ではなく「開集合でない部分集合Aが存在する」ことを示したかったのです。

できるだけ自分の力で考えたいを思い、自分なりに問題を進め、その過程を省略してしまった為に抽象的な主旨の質問になってしまったことを反省しています。

長くなってしまいましたが
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数がある」の示し方を教えてください。
この一点だけ、お答えいただくことはできませんでしょうか。

回答No.2

nag0720

A={x∈Q | 0<x<1}　は開集合では？

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問は
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数があること
を言いたいが、どのように説明したら良いかがわからないので教えていただきたい。」
ということを書きたかったのですが、書き方が悪く正確に伝わらなかったようなので訂正いたします。

さらに、実際には
d:R×R→R,d(x,y)=|x-y|と定義し、
距離空間E=(R,d)の部分距離空間として有理数全体の集合Qと整数全体の集合Zを考え、
f:Q→Zと定義し、
fが連続でないことの証明をしたかったのです。

ANo.2の仰る集合は開集合です。
Zの空でない任意の開集合Ｏに対して、f(O)^-1がQの開集合であればfは連続ですが、
この命題の否定をとる過程で、(お恥ずかしい話ですが)論理式の変形を間違えてしまったようです。
なので、質問分の「いかなる部分集合Aも開集合ではない」ではなく「開集合でない部分集合Aが存在する」ことを示したかったのです。

できるだけ自分の力で考えたいを思い、自分なりに問題を進め、その過程を省略してしまった為に抽象的な主旨の質問になってしまったことを反省しています。

長くなってしまいましたが
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数がある」の示し方を教えてください。
この一点だけ、お答えいただくことはできませんでしょうか。

回答No.1

kabaokaba

(1)有理数＋無理数は有理数？無理数？
(2)任意の正の数δに対して，
0<α<δを満たす無理数αは存在するか？

こんな感じだろうか．

この問題は(2)と
本質的に同じだと思う．

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問は
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数があること
を言いたいが、どのように説明したら良いかがわからないので教えていただきたい。」
ということを書きたかったのですが、書き方が悪く正確に伝わらなかったようなので訂正いたします。

さらに、実際には
d:R×R→R,d(x,y)=|x-y|と定義し、
距離空間E=(R,d)の部分距離空間として有理数全体の集合Qと整数全体の集合Zを考え、
f:Q→Zと定義し、
fが連続でないことの証明をしたかったのです。

ANo.2の仰る集合は開集合です。
Zの空でない任意の開集合Ｏに対して、f(O)^-1がQの開集合であればfは連続ですが、
この命題の否定をとる過程で、(お恥ずかしい話ですが)論理式の変形を間違えてしまったようです。
なので、質問分の「いかなる部分集合Aも開集合ではない」ではなく「開集合でない部分集合Aが存在する」ことを示したかったのです。

できるだけ自分の力で考えたいを思い、自分なりに問題を進め、その過程を省略してしまった為に抽象的な主旨の質問になってしまったことを反省しています。

長くなってしまいましたが
「区間(a-δ,a+δ)中に無理数がある」の示し方を教えてください。
この一点だけ、お答えいただくことはできませんでしょうか。