分母の有理化について

質問

閲覧ありがとうございます。

高卒認定の試験に向けて勉強中なのですが、分母の有理化の例題について質問があります。

以下、例題と書いてある解き方です。読みづらいかと思います。申し訳ありません。

2+√3/2-√3を有理化せよ。

公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2を用いて解いていく。もとの式の分母分子に、分母プラスマイナスを入れ替えた2+√3をかける。

2+√3/2-√3
「=(2+√3)^2/(2-√3)(2+√3)
=2^2+4√3+(√3)^2/2^2-(√3)^2」
=4+4√3+3/4-3
=7+4√3

「 」の中の式についてなのですが、分子は(a+b)(a-b)=a^2-b^2ではなく(a+b)^2=a^2+2ab+b^2を用いているようにしか思えず、どのようにすれば書いてある通りに解けるのかわかりません。

どなたか教えて頂けると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.4

ORUKA1951

公式、公式、公式・・・・・
は、数学ではありません。理系科目は、あくまで理由の積み重ねです。膨大な公式をすべて覚えるなんて無理ですし、公式にそのままあてはまらない問題も多いし。
　公式なんて忘れたって解けるように

・分母を有理化とは
　　有理数：分数で表せられる数。0.5とか3.33333・・・とか
　　無理数：分数で洗わせられない数、π、e、√2

　問題は、
(2+√3)/(2-√3)　　正確に書きましょう。2+√3/2-√3だと意味が通じない!!
　(2-√3)を有理化せよ!!

お礼

公式さえ覚えていれば、と思っていましたがそういう簡単なことではないのですね。表記に関するご指摘もありがとうございます。以後気を付けます。ご回答ありがとうございました。

回答No.3

dolittle0

No.1の方の回答の補足です。

有理化は数の表現を変えているだけです。

2/3も、4/6も、12/18も、表している数は同じということはお分かりになると思います。

例えば、2/3の分母を18にして表せといった問題では、

2/3 x 6/6 = 12/18　

とするはずです。6/6=1ですね。

有理化もこれと似たようなものです。すなわち、

(2+√3)/(2-√3) x (2+√3)/(2+√3)

この例ではたまたま分子が (2+√3) であったために、(2+√3)^2になっているだけです。

分子が(1-√3) の場合は、(1-√3)(2+√3)になります。

お礼

更に詳しいご回答、ありがとうございます。例も出して頂いてわかりやすかったです！

回答No.2

maiko0318

分子は(a+b)^2=a^2+2ab+b^2を使っています。

ここでは「分母」の有理化ですので、
分母を(a+b)(a-b)=a^2-b^2を使っていますという意味です。

お礼

なるほど、「分母」の有理化だから、ですね。それだけでもとても納得できました！ご回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞分子は(a+b)(a-b)=a^2-b^2ではなく
＞(a+b)^2=a^2+2ab+b^2を用いているようにしか思えず

そのとおりです。

(2 + √3)/(2 - √3)

分母を有理化するために、
分母と分子の両方に
2 + √3
をかける。

(2 + √3)(2 + √3)/(2 - √3)(2 + √3)
= (2 + √3)^2/(2^2 - (√3)^2)
= (4 + 4√3 + 3)/(4 - 3)
= (7 + 4√3)/1
= 7 + 4√3

お礼

ご回答ありがとうございます。分子については合っているのですね、良かったです。