複素数のn乗根が解けません

質問

例に、Z^4=1　という問題を解くとします。

ド・モアブルの定理より
r^4(cos4θ + isin4θ)　となるところまでは分かります！
しかし
r^4(cos4θ + isin4θ) = 1(cos0 + isin0)　は理解出来ませんでした。

この後もいきなり訳の分からない数(2kπ)が出てきて、私にはちんぷんかんぷんです。

ご教示お願いします。

回答No.14

www01 · ベストアンサー

No.13です。何を困っているのか、やっとわかってきました。
とりあえず問題を以下のようにとらえますね。
問1.r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)
問2.r^3(cos3θ+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2)
について、それぞれの等式を満たすθはなにか。

問1の答え→θ=0,π/2,π,3π/2
問2の答え→θ=π/6,5π/6,3π/2

θのことですが、円を1周すると360度ですが、現代的な数学では360度という表示を用いずに2πを当てはめます。半径1の円周の長さは2πということを思い出してください。
90度=π/2,180度=π,270度=3π/2,360度=2π=0
です。ところで、1周(2π)すると同じところに戻ってきますから、
π/2=π/2+2π=π/2+4π=π/2+2kπ (k=1,2,…)
で他の場合も同様です。

次に、
Z^n=1をド・モアブルの定理を用いて解け。
という問題ならば、

Z^n=1
→(cosθ+isinθ)^n=(cos(nθ)+isin(nθ))
=1=(cos(2kπ)+isin(2kπ))を満たすθはn個ある。
そのθをθmと表記することにすると、cos(θm)+isin(θm)を求めよ。

という問題になります。

●Z^4=1の解
4θ=2kπ → θ=0(=2π),π/2,π,3π/2

θ=3π/2の場合
cos(3π/2)+isin(3π/2)
=0-i
(3π/2は複素平面上で、第３象限と第４象限の間にある)

●Z^3=1の解
3θ=2kπ → θ=0,2π/3,4π/3

π/3=60度,2π/3=120度に注意する。

θ=4π/3の場合
cos(4π/3)+isin(4π/3)
=-1/2-iΓ3/2
=-(1+iΓ3)/2
（4π/3は、複素平面上で第３象限にある。）

スマホにルート記号が入ってなかったので、記号Γで代用しました。上の値を３乗すると、
(-(1+iΓ3)/2)^3=1

…携帯で打ってたら、全体が見えなくて合ってるのかわからんくなってきた。他の方々、ミスあったら修正お願いします(^_^;)

お礼

感謝します！！！
やっと理解出来ました。
私の質問の仕方が悪かったのかもしれませんね...

本当にありがとうございました。
(ケータイで打っていただいていたなんて...)

回答No.13

www01

質問者さま

●No.9の補足内容について
1.cos4θ=cos0の件
4θは、θを4倍したものという認識で合ってますよ。
ただし、No.9さんが書いているように、cos4θ=cos0となるのは、4θ=2kπ (k=1,2,…)の形になっていないとヘンだということですよー

2.cos3θはπ/2 ？？
ホントにこう言われたのですか？
3θ=π/2とか3θ=3π/2ではなくて？
もし、cos3θ=π/2なら、円周率として知られているπは超越数なので、左辺は無限級数になるはずですが……

長文でもよいので、問題文または教えられたことを、そのまま書いてもらえないでしょうか。

補足

プリントの問題を解いているだけなので、ほとんど式しかのってません...

なかなか解決できなくて、本当にごめんなさい。
パソコンで分数を使うことがあまりないので逆にしてしまったようです。
すいませんでした。

r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)
r^3(cos3π+isin3θ)=1(cosπ/2+isinπ/2)

4θがそれぞれ0になるのはθを四倍した値が0ということですよね、だとすると3θがそれぞれπ/2となるのはθを三倍した値がπ/2なはずです。
このθの値はなんなのですか？

3θ,4θ　この二つの値の求め方をずっと考えているのですが、θの値が分からないので、何を三倍し何を四倍すればいいのか分からないのです。

回答No.12

Water_5

i^(1/2)=＋((1+i)/(2^(1/2)))・・・・・（１）

(-i)^(1/2)=-((1+i)/(2^(1/2)))・・・・（２）

（１）式の証明
オイラーの公式において
e^(iθ)=cosθ+isinθ　　θ＝π/４と置く。

e^(i（π/２）（1/２)）
＝{cos（π/２）+isin（π/２）}＾(1/２）
＝√i
＝(1+i）/√２

（２）式の証明
オイラーの公式において
e^(iθ)=cosθ+isinθ　　θ＝ー（π/４）と置く。

e^(i（ーπ/２）（1/２)）
＝{cos（ーπ/２）+isin（ーπ/２）}＾(1/２）
＝√（-i）
＝ー(1+i）/√２

回答No.11

Water_5

オイラーの公式において
e^(iθ)=cosθ+isinθ　　θ＝π/４と置く。

e^(i（π/２）（1/２)）＝√i
＝(1+i）/√２なので”－”符号は要らない。

回答No.10

www01

ちょっと補足します。

i^(1/2)=±((1+i)/(2^(1/2)))

です。奇妙に思えるかも知れませんが、複素数のn乗根はすべて複素数で表せます。
(代数学の基本定理による)

回答No.9

spring135

#4です。

疑問1
4θ=0だということが理解できない(三角関数を軽く見直したにも関わらず)

疑問2
4θ=2kπだということが理解できない。
一般化とはなんですか？

疑問3
r^4=1が理解できない。

回答1,2
sinx=0
cosx=1

を満たすxはx=0,2kπ(k=±1,±2,±3....)ということを教科書で確認してください。しかる後

x=4θと置いてください。

回答3

複素数の極座標表示の基本を読み直してください。

提案

Z^4=1

を解くだけの話ならド・モアブルの定理とかややこしい話を持ち出さない方が賢明です。

Z^4-1=0

を因数分解して

(Z-1)(Z^3+Z^2+Z*1)=0

は解りますか。左辺を展開すれば元に戻ります。

さらに

Z^3+Z^2+Z*1=Z^2(Z+1)+Z+1=(Z+1)(Z^2+1)

を確認してください。

ふつうは因数分解はここまでですが複素数の範囲まで話を広げると

Z^2+1=(Z+i)(Z-i)

と因数分解できます。右辺を展開してi^2=-1を用いれば左辺となります。

以上から

Z^4-1=(Z-1)(Z+1)(Z+i)(Z-i)=0

となり、

Z=1,-1,i,-i

が答です。

補足

やっとこの問題の趣旨が分かってきたような気がします。
cos4θはθを4倍したということであってますか？
それが0になるということですか？
ここの説明をお願いします！！

cos3θはπ/2らしいです...(うーん、なぜなのだろう...)

これさえ分かればうまくいきそうです！
お願いします！

回答No.8

www01

質問者さまの置かれている状況がよくわからないのですが、高校の授業での話なのでしょうか

ド・モアブルの定理は理解できていて、その後に数（２kπ）が出てきてちんぷんかんぷんとあるので、オイラーの公式のほうは知らないと推測します。

オイラーの公式の特殊解は、
e^(iπ)=-1
で、これを変形すると、
e^(iπ)^2=e^(i2π)=1
ここで右辺は1=1^k (k=1,2,…)なので、
e^(i2kπ)=1
となり、複素平面上で半径1の円周上を何回でも動いていく様子をイメージしてみてください。
Z^n=1と、上式を比較すると、kがn乗根の部分に相当し、解は無数にあることもわかります。

そうなるのは、ふつうの実数の平面と違って、複素平面は球面(リーマン球面)と同等であることが現在では判明していて、複素数全体は"閉じている"ためです。

次に、質問者さまが理解できなかったという三角関数の等式ですが、オイラーの公式の一般解は、
e^(iθ)=cosθ+isinθ
です。（証明は省略します）
e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ)
と書いても意味は同じです。これと、ド・モアブルの定理を見比べてみてください。

ところで、極形式で半径rは、
r=((a・cosθ)^2+(b・sinθ)^2)^(1/2)
と表せるので、a=1,θ=0なら半径r=1です。
また、θが動いていくというのは、複素平面上では回転していって、θ=0からスタートすると、θ=2πで一周します。ですので、
cos0+isin0=cos(2π)+isin(2π)
=cos(2kπ)+isin(2kπ)
となります。

r^4(cos4θ+isin4θ)=1(cos0+isin0)

におけるθにどのような数を当てはめているのか、左辺の関数はどのようなものを想定しているのかわかりませんが、半径は1,θ=kπ/2だと仮定すると、
r^(4・k/2)・(cos4(kπ/2)+isin4(kπ/2))
=r^(2k)・(cos(2kπ)+isin(2kπ))
=1(cos0+isin0)

となります。ちなみに、複素数どうしの乗法は、
Z1,
Z1・Z2,
Z1・Z2・…,
とするたびに複素平面上では回転していき、各Zmの半径が、r<1なら半径は回転するごとに縮小し、1<rなら半径は回転するごとに拡大していきます。

回答No.7

178-tall

> … z = r*e^(iθ)という形は初めて見るのですが、何でしょうか？

オイラーの式。
　e^(iθ) = cosθ + isinθ
これは、未修ないし禁じ手なのでしょうか？

回答No.6

178-tall

< ANo.3 への蛇足。

>これは、{r, θ} 形式で解くため、
>　Z^4 = 1 = 1*(cos0 + isin0)
>と、原題を z = r*e^(iθ) 形式に整形しているだけ。
>このあとは r*e^(iθ) の 4 乗根を勘定すべく、r^(1/4) つまり r の4 乗根と、e^(iθ/4) つまりθの 4 等分角を求めることになるでしょう。

つまり、z = r*e^(iθ) としておけば、
　z^(1/4) = r^(1/4) * e^(iθ/4)
が z の 4 乗根だろう。

…ということですヨ
。
為念。

補足

回答ありがとうございます。
えと、z = r*e^(iθ)という形は初めて見るのですが、何でしょうか？

回答No.5

www01

難しく考えていくと、複素解析の話になっていくので、単純にガウス平面上で考えればよいのではないでしょうか。

（ガウス平面）
■■■■■↑■■■■
■■■■■ i■■■■
■■■■■｜■■■■
← -1 ー ０ ー 1 →
■■■■■｜■■■■
■■■■■-i■■■■
■■■■■↓■■■■

Z^n=1のn乗根は、ガウス平面上で０点を中心に正n角形を形成します。ここでは絵が描けないので伝わりにくいかも知れませんが、一応記します。
1^n=1ですから、1をスタート地点にして、

Z^4=1 →1,i,-1,-i で正４角形
Z^3=1 →1,(-1+iГ3）/2,（-1-iГ3）/2 で正３角形

となります。
(ルート記号がスマホに入ってなかったので、記号Г を代用しました)
正n角形は、各辺の長さ、各角度が、すべて同じという性質を利用しています。

複素数の性質は、現代数学の入門書にいろんな例が記載されているので、参考にされてみてはいかがでしょうか。
個人的には、志賀浩二さんの『数学30講シリーズ』をオススメします。どの本がわかりやすいかは、それぞれ好みがあると思いますが(^_^)

回答No.4

spring135

質問者は

求める複素数を極形式で

Z=r(cosθ+isinθ)

とおき

Z^4=[r(cosθ+isinθ)]^4=r^4(cos4θ+isin4θ)=1

までたどり着き、そこで？となったと推測されます。

その先です。

Z^4=r^4(cos4θ+isin4θ)=1

の絶対値をとってみると

|Z^4|=|r^4(cos4θ+isin4θ)|=|r^4|*|cos4θ+isin4θ|=1

ここで

|cos4θ+isin4θ|=√[(cos4θ)^2+(sin4θ)^2]=1

なので

|Z^4|=1のためには

|r^4|=r^4=1

が必要条件となります。

この条件下において

Z^4=[r(cosθ+isinθ)]^4=r^4(cos4θ+isin4θ)＝cos4θ+isin4θ=1

を解けばよいことになります。

右辺1は複素数としては

1=1+i

従って

cos4θ=1

sin4θ=0

を満たす4θを求めて、あとで4で割ればよいことになります。

そのような4θは無限にあります。

まず

4θ=0

がOKということはわかりますか。三角関数のところを見直してください。

4θ=2π,4π,6π,8π,.....

さらに

4θ=-2π,-4π,-6π,-8π,.....

もOKです。

一般化して

4θ=2πk (k=0,±1,±2,±3,.....)

従って

θ=(π/2)k (k=0,±1,±2,±3,.....)

が答です。

もう少し具体化すると

θ=0,±π/2,±2π/2,±3π/2,±4π/2,±5π/2,±6π/2,±7π/2,±8π/2....

=0,±π/2,±π,±3π/2,±2π,±5π/2,±3π,±7π/2,±4π....

従って

Z^4=1を満たす複素数Zは

Z=cosθ+isinθ (θ=0,±π/2,±π,±3π/2,±2π,±5π/2,±3π,±7π/2,±4π....)

が正解です。

しかし複素平面で考えればすぐわかるように、

Zは(1,0)から始まって90°(=π/2)ごとに右回りまたは左回りして4ステップで元に戻ります。

左回りでいえば

Z=(1,0)=1 (θ=0)

Z=(0,1)=i (θ=π/2)

Z=(-1,0)=-1 (θ=π)

Z=(0,-1)=-i (θ=3π/2)

Z=(1,0)=1 (θ=2π)

で(1,0)に戻ったわけです。

従って

Z=1,i,-1,-i

だけで十分であるということがわかります。

補足

回答ありがとうございます。
じっくり読ませていただきましたにも関わらず、未だに理解できずにいます。
申し訳ありません...

もう少し絞って質問させていただきます。

疑問1
4θ=0だということが理解できない(三角関数を軽く見直したにも関わらず)

疑問2
4θ=2kπだということが理解できない。
一般化とはなんですか？

疑問3
r^4=1が理解できない。

このくらいです...

三角関数をあまり覚えていないのが原因ですかね？