高校数学B(数列～群数列～)

質問

奇数の列を次のように1個、2個、4個、8個、•••と群に分ける。
{1},{3,5},{7,9,11,13},{15,17,19...,29},...

(1)第n群の最初の奇数を求めよ。
(2)第n群の奇数の和を求めよ。
(3)第8群の3番目の数を求めよ。
(4)77は第何群の何番目の数か。

(2)以降が分かりません(求め方)。どなたか助けてください。よろしくお願いします。

回答No.1

fusem23

(1) 第n群には 2^(n-1) 個の数が含まれる。
よって、第n+1群の最初の数は、第n群の最初の数に 2^n を加えたもの。
初項が1、公比が2の数列の和、つまり
Σ[k=1,n]2^(k-1) = 1*(2^n-1)/(2-1) = 2^n-1
が答となる。

(2) 第n群の最後の数は、 第n群の個数から
2^n-1 + (2^(n-1)-1)*2 = 2^(n+1)-3
となり、第n群の平均に個数をかけて
(2^n-1 + 2^(n+1)-3)/2 * 2^(n-1) = 3*2^n*2^n/4 - 2^n = 3*4^(n-1)-2^n
が答となる。

(3) 第8群の最初の数は 2^8-1 だったから、3番目の数は
2^8-1 + (3-1)*2 = 255 + 4 = 259
となる。

(4) 77が第n群に含まれるとすると、
2^n-1 ≦ 77 ＜ 2^(n+1)-1
となる。これより n = 6 と求まる。
第6群の最初の数を引くと
77 - 2^6-1 = 14
であり
14/2+1 = 8
だから、77は第6群の8番目の数となる。