群数列の問題が分かりません

質問

1から順に並べた自然数を
1|2,3|4,5,6,7|8,9,10,11,12,13,14,15|16,...
のように、第n群(n=1,2,...)が2^n-1個の数を含むように分ける。

(1) 第n群の最初の数をnで表せ。

(2)第n群に含まれる数の総和を求めよ。

(3)3000は第何群の何番目にあるか。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)第n群の最初の数は，自然数の(第n-1群までの項数)+1番目

(2^0+2^1+・・・+2^{n-2})+1=(2^{n-1}-1)/(2-1)+1=2^{n-1}

(2)初項2^{n-1}，末項2^{n-1}，項数2^{n-1}であるから，

(2^{n-1}/2)(2^{n-1}+2^{n-1})=2^{2(n-1)}

(3)3000が第n群にあるとすると，

2^{n-1}≦3000<2^n⇔3000<2^n≦6000

2^{11}=2048,2^{12}=4096,2^{13}=8192,よりn=12

第12群の最初の数は2^{11}=2048で，3000は第12群の3000-2047=953番目

お礼

御回答ありがとうございました。