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二重積分について
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- stomachman
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ご質問の定積分は ∫∫∫ dzdxdy (積分範囲 x^2+y^2+z^2 ≦ a^2, z≧0) に等しい。（∫ dzだけやってみれば分かります。）つまりこの定積分は半径aの半球の体積を表している。なのでコタエは(2π(a^3))/3。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
xy平面からrΘ平面に変換します。 x=rcosΘ, y=rsinΘ 0≦r≦a, 0≦Θ≦2π 公式 ∬[Dxy]dxdyF(x,y)=∬[DrΘ]drdΘF(rcosΘ,rsinΘ)∂(x,y)/∂(r,Θ) ∂(x,y)/∂(r,Θ)=行列(a11,a12,a21,a22) a11=∂x/∂r=cosΘ a12=∂y/∂r=sinΘ a21=∂x/∂Θ=-rsinΘ a22=∂y/∂Θ=rcosΘ ∂(x,y)/∂(r,Θ)=r F(x,y)=√（a^2-x^2-y^2)=√（a^2-r^2） 以上より I=∬dxdy√（a^2-x^2-y^2)=∬drdΘ√（a^2-r^2)r=2π∫(r:0→a)r√（a^2-r^2)dr u^2=a^2-r^2とおく。 rdr=-udu I=2π∫(r:0→a)r√（a^2-r^2)dr=2π∫(u:a→0)(-u)udu=2π∫(u:0→a)u^2du =2π[u^3/3](0→a)=2πa^3/3 Θ
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