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二重積分、教えて下さい！

以下の問題の解法がわかりません。 教えてください。よろしくお願いします！ ∮∮y/(3+x^2y^2)dxdy B=[0,1]×[0.3] すいません、、線積分のインテグラルしかなく、普通の積分です。

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

質問に示された通り、まず dx つぎに dy の順番で 計算すると、ちょっとだけ簡潔になります。 xy/√3 = tanθ で置換すると、 与式 = ∫[y=0～3] ∫[θ=0～arctan(y/√3)] 1/√3 dθ dy. 式が ∫ 1/(1+zz) dz に似ていることを考えたからです。 arctan を式から消すために、更に y/√3 = tanφ で置換すると、 与式 = ∫[φ=0～π/3] φ(tanφ)' dφ となって、 部分積分せよと言わんばかりの式形です。 で、部分積分すると、 与式 = [φtanφ]_(φ=0～π/3) + ∫[φ=0～π/3] (cosφ)'/(cosφ) dφ = π/√3 - log 2 です。

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

I=∫[x:0,1] dx∫[y:0,3] y/(3+x^2*y^2) dy =∫[x:0,1] dx [(1/(2x^2))log(3+x^2*y^2)] [y:0,3] =∫[x:0,1] (1/(2x^2)){log(3+9x^2)-log(3)} dx =(1/2)∫[0,1] (1/x^2)log(1+3x^2) dx 部分積分して I=(1/2){[-(1/x)log(1+3x^2)][0,1]+∫[0,1] 6/(1+3x^2)dx} =(1/2){[lim(x→+0)(1/x)log(1+3x^2)]-log4+2√3[tan^-1(√3x)][0,1]} ロピタルの定理を用いて I=(1/2){[lim(x→+0) 6x(1+3x^2)]-2log2+2√3(π/3)} =(1/2){-2log2+2√3(π/3)} =(π/√3)-log2 (ただしlogは自然対数）

marakasu48
質問者

お礼

ありがとうございます！ 助かりました😁

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