高校物理 二体問題について

質問

こんにちは。高校生で大学受験のための勉強をしているものです。
早速ですが、物理について質問です。
二体問題は重心から見ると解きやすいと教えられてそのように勉強してきました。
「二物体の衝突は重心から見ると、質量の逆比逆向きの速度で向かってきて、衝突後また質量の逆比逆向きの速度ではなれていくという現象だ。…＊」といった風に習いました。

先日、東京工業大学の過去問をといたのですがわからないところがありました。
2010年度の前期試験物理の大問１の（d）です。
http://www.riruraru.com/cfv21/phys/tip10f1.htm
（参考までにURLのせておきます。）
ここで、小球と物体Bが衝突するのですが僕は

「（Ｖ0-ブイゼロ-はパソコンでの書き方がわからないのでvと書かせていただきます。）
x方向に外力が働かないから重心速度一定だな。（運動量保存）
＊より、重心から見た小球の衝突直前の速度はMv/√（2）(m+M)
物体Bの速度は-mv/√(2)(m+M)
衝突後はそれぞれ大きさ同じで向きが逆になるのだろうな」
と考えました。
だから、
「重心速度はmv/√(2)(m+M)だから衝突後の速度は、
小球　（m-M）v/√(2)(m+M)
物体B √（2）mv/(m+M)」
だと思いました。

そしたら正解は違っていて
小球　√（2）(m-2M)v/2(m+2M)
物体B 2√(2)mv/(m+2M)
となっていました。

解答は運動エネルギー保存則と運動量保存則の式を連立させて導いていて納得できたのですが、
しかし、自分の方法ではなぜ正解にたどり着けないのかがわかりません。

運動量保存則を模範解答も使っているので重心速度は絶対に一定のはずです。
重心からみれば、二物体は質量逆比逆向きの速度で～というものには成立条件のようなものがあるのでしょうか？
ここが一番お聞きしたいです。

繰り返しになりますが、模範解答がなぜ正しいかではなくて＊がなぜ成立しないのかをお聞きしたいです。
長文見にくいなか、ここまで読んでくださったみなさまありがとうございました。
回答よろしくおねがいします。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＃３、＃４です。
返事が頂けないのが気になります。

＃３で衝突後の小球の運動方向が斜め４５°の方向であるとすると
「Ｔ＝Ｔ’」、
「衝突直後の小球の速度の水平成分の大きさは衝突直前の小球の速度の水平成分の大きさの半分である」
というのは放物運動の問題としてｍ、Ｍに無関係に出てくることだ
と書きました。
点Ｐから速さｖｏで面に垂直な方向に投げ出した物体が同じ高さの点Ｑに落下するまでの時間がＴだったとする。
点Ｐから速さｖで面に垂直な方向に投げ出した物体が点Ｏに落下した。落下に要する時間をＴ’とする。Ｔ’／Ｔ、ｖ／ｖｏを求めよ。
という問題と同じですね。

２体衝突が続けて起こるとして考えると面に垂直な方向（＝斜め上方４５°の方向）に跳ね返るというのは決まってしまいます。３体の衝突の問題は解くことができませんのでこのような取り扱いは３体が絡む衝突では標準的なものであると考えていいでしょう。したがって出題者もこういう方法でしか解けないということは承知しているはずです。

元の問題が
＞(d) 小球が物体Bと衝突した直後の、小球の速度のx成分vと、物体Bの速度Vを、m，Mおよびを用いて表せ。
＞(e) 小球が点Pから点Qまで運動するのに要する時間をTとするとき、小球が点Qに衝突してから原点Oに落下するまでに要する時間をTを用いて表せ。

となっているのはｖ／ｖｏがｍ、Ｍに関係した表現になる、衝突の問題を解かないとｖ／ｖｏは決まらないとしていることになりますので問題の設定自体がおかしいということになります。この表現が必要なのはＭ／ｍを決定する時です。ｖ／ｖｏを求める時ではありません。測定値が一切出てこない問題で有効数字２ケタの解を要求するという首をかしげたくなるような問いも出てきていますから出題者のレベルに信頼できないものを感じます。
東工大は以前にも「重力の加速度の値を９．８００ｍ／ｓ^2として有効数字４桁の答えを要求する」ような変な問題を出していたこともありますので私としては「またか！」という気持ちになっています。

解答はこの問題設定の混乱に足元をすくわれてしまっています。
ｖ＝ｖｏ／２が得られていませんのでどこかがおかしいのです。
おかしいのは(5)の反発係数の式です。
面に垂直な方向の台の速度をＶ／√２としています。ここがＶ√２であればｖ＝ｖｏ／２が出てくるのです。小球と台の衝突、台と床の衝突と順番に考えていくのであれば小球からもらった運動量はＭＶよりも大きいはずです。床と平行な成分だけしか残らないというのは台と床との衝突の後の話です。

ｖ＝ｖｏ／２となるという条件で解いていくとＭ／ｍ＝３になります。これを３．０としなければいけないなんていうのはばかげています。

お礼

遅れてしまって申し訳ありませんでした。
センター試験があったものでしばらくネットを見てなくて…すみませんでした。
とてもていねいなご回答を何回もしていただき本当にありがとうございました。

回答No.4

htms42

＃３です。
ちょっとおかしいことを書きました。

「Ｔ＝Ｔ’」と「衝突後の小球の速度のｘ成分の大きさは衝突前の小球の速度のｘ成分の大きさの半分」は放物運動であるということだけからでてきます。
そのあと「衝突後の小球の速度のｘ成分の大きさは衝突前の小球の速度のｘ成分の大きさの半分」になるような衝突はｍ、Ｍの比がいくらのの時に実現するのかについては運動量の保存則、エネルギー保存則が必要です。その結果を使って台の速度も求めることができるのです。ここで水平方向の運動量保存則を使います。
この計算ではエネルギー保存則を使うよりは反発係数の式を使うほうが楽でしょう。

回答No.3

htms42

Ｂの解答についてです。

解答では衝突後の小球の運動方向を面に垂直な方向（したがって斜め上方に４５°の方向）であるとしていますね。
そうであれば（ｅ）は単に放物運動だけの問題になってしまいますからｍ、Ｍには関係がなくなります。
Ｔ＝Ｔ’です。衝突後の小球の速度のｘ成分の大きさは衝突前の小球の速度のｘ成分の大きさの半分です。
台のｘ方向成分を出すのは水平方向の運動量保存則を使えばいいです。ｍ、Ｍの比が出てきます。エネルギー保存は必要ありません。

解答はおかしいということになります。

衝突後の小球の速度が４５度の方向であるというのは
衝突をまず小球と三角台との２体衝突であると考えるのと同じです。台の重心の位置はＱを通る垂線上にありますから台の回転は生じません。質点と考えて出したものと同じになります。
台の運動はそのあと床との相互作用で決まるとします。ｘ方向の運動だけが残ってｙ方向は消滅すると考えることになりますからエネルギーは保存していません。台と床との関係でいうと非弾性衝突になっています。台と垂直な方向には運動しないという束縛条件を設定するというのはそういう内容を含んでいるとしないと説明がつかないことなのです。台に上から力を加えれば台は床と衝突するのです。

どうでしょう。

回答No.2

eatern27

弾性衝突なのでエネルギーが保存されるわけですが、エネルギー保存則の式には小球の速度のy成分も含めないといけません。x成分だけで考えられるものではありません。

ただ、もしも小球の速度のy成分(とz成分)の大きさが変わらないのであれば、x成分だけを考えてx方向にだけ動く２物体の衝突と同じように扱う事はできるとは思います。しかしこの問題の条件では変わってしまうのでそのやり方ではうまくいきません

回答No.1

eatern27

簡単に言えばこの衝突が二体問題ではないからという答えになりますかね。

衝突の間も物体Ｂが床から受ける垂直抗力は無視できません(無視したら物体Ｂが床にめり込んでしまう)ので、衝突の間に小球と物体Ｂ間の力以外の力がないと思って出した結論は必ずしも正しいものにはなりません。

補足

自分は『x軸方向で考えると…』といったように成分でわけて考えれば物体Bが受ける床からの撃力はy軸方向のものだから関係ないかと思ったのですが、違うのですね

衝突面がななめだから、成分にわけて考えることができないのでしょうか？