記号論理学の全称記号（∀）と存在記号（∃）について

質問

現在、独学で論理学の勉強をしているのですが、
どうしても理解できない部分があります。

どなたか詳しい方がしましたらアドバイスをお願い致します。

・スマリヤン著：「記号論理学 － 一般化と記号化」

この本の中の練習問題に以下のようなものがあります。

「xはyを知っている」をxKyとあらわす時、次の命題を記号化せよ。

１．すべての人は、彼を知らないある人を知っている。
２．ある人は、彼を知っているすべての人を知っている。

解答１：∀x∃y (xKy ∧ ￢yKx)
解答２：∃x∀y (yKx → xKy)

どちらの問題もyに関して特定の条件がありますが、
なぜ、設問１の時だけ「∧」になり、設問２では、「→」になるのでしょうか？

もし、設問２で「∃x∀y (yKx ∧ xKy)」と解答したら、
これはどういう解釈になるのでしょうか？

それから、基本的な考え方として、
「∀x∃y」は、すべてのxについて対応するyが存在している。
ただし、yはそれぞれのxに対して別々である。
「∃x∀y」は、あるxについてすべてのyが対応している。

で正しいのでしょうか？

回答No.1

tmt486132164 · ベストアンサー

２．ある人は、彼を知っているすべての人を知っている。
解答２：∃x∀y (yKx → xKy)
（直訳すると）
（∃x）ある特別なｘさんがいて、（∀y）どんなｙさんを連れてきても、
ｙさんがｘさんを知っているときに限って、ｘさんがｙさんを知っている。

つまり、ある特別なｘさんは、ｘさんを知らないｙさんを、知っていても知らなくてもどちらでも良いので、→になっています。

解答２'：∃x∀y (￢yKx ∨ xKy)
これは解答２と全く同じですが、こちらの表記の方が理解しやすいと思います。

もし、設問２で「∃x∀y (yKx ∧ xKy)」と解答したら、
（∃x）ある特別なｘさんがいて、（∀y）どんなｙさんを連れてきても、
ｙさんはｘさんを知っていて、かつ、ｘさんもｙさんを知っている。
（すべての人はｘさんを知っていて、ｘさんもすべての人を知っている。）

後半部分は、その認識で問題無いです。

ただ、∀を「すべて」と考えると誤解しやすいので、
常に対象としているものの全体を考えて、
その中のどれを選んできても、成り立つと考えた方が良いです。

例えば、Ｐを任意の命題として、Ｈを人の全体（集合）とすると、
∀xＰという記述は、正確には、∀x∈Ｈ（Ｐ）または、∀x（x∈Ｈ→Ｐ）を意味します。
これは、ＰがＨで成り立つのでは無く、Ｈの個々の要素（人）に対して、Ｐが成り立つと言う意味です。

∀x∃yＰの記述は、
Ｈからどんなひとｘを選んできても、それに対応したｙさんがいて、Ｐが成り立つと理解できます。

∃x∀yＰは、
Ｈの中に、ある特別な人ｘさん（複数かもしれない）がいて、どんなｙさんに対しても、Ｐが成り立つ。

となります。

お礼

丁寧な解説をありがとうございました。
確かに「p→q」を「￢p∨q」として考えると分かりやすいですね。

∀と∃が混在する命題については、もっと問題を解いて
慣れていきたいと思います。

本当にありがとうございました。