最大公約数について教えてください

質問

ある数　XとY　の最大公約数をnとすると

X=an
Y=bn

このように表せますが

このときにaとbはなぜ必ず素になるのでしょうか?

あまり数学が得意ではないので
小学生レベルでも理解できるように説明していただけるとありがたいです。

回答No.4

KEIS050162 · ベストアンサー

小学生レベルということなら、

「二つの数を最大公約数で割った商に、まだ公約数があるのであれば、最大公約数はもう少し大きい数字になるはず。」

と、直感的に考えてもよいと思います。

もう少し詳しく素因数分解を使ってこれを説明すると、

最大公約数は、二つの数を素因数分解した時、最大公約数は共通する素因数すべての積になるの。この時、それぞれの商は、共通しない素因数の積になるので、共通する因数はない。（互いに素）

具体的な例で、２５２と２１０で検証すると、

２５２　＝　２ｘ２ｘ３ｘ３ｘ７
２１０　＝　２ｘ３ｘ５ｘ７

共通する素因数とその積、即ち最大公約数は、
４２＝２ｘ３ｘ７

それぞれを最大公約数で割った商と、その素因数は、
２５２÷４２＝　６　＝　２ｘ３
２１０÷４２＝　５
商に共通する素因数はない。（互いに素）

仮に、間違って、最大公約数を　２１　としてしまった場合、
２５２÷２１＝　１２　＝　２ｘ２ｘ３
２１０÷２１＝　１０　＝　２ｘ５

となり、それぞれの商に共通する素因数２がある。（互いに素でない）

間違った　最大公約数を正しくするには、２１　にこの共通する素因数２をかけて４２としなければならない。

ご参考に。

お礼

皆様ありがとうございます。
理解することが出来ました。

回答No.3

asuncion

aとbが互いに素でないとすると、
aもbも1より大きい数で割り切れる。
その、1より大きい数は、aとbの公約数である。
あれ？nは「最大」公約数じゃなかったの？
矛盾発生。
∴aとbは互いに素
Q.E.D.

回答No.2

noname2727

文字式を使った問題がでてくるのは、中学校からです。

特に、整数論は高校一年生で扱うため、小学生レベルで理解することはできないと思います。

回答No.1

asuncion

仮に、aとbが互いに素でないとする。
このとき、aとbには1より大きい公約数が存在する。
その公約数をcとおくと、
a = cs
b = ct
と表わすことができる。
X = an
Y = bn
に代入すると、
X = cns
Y = cnt
となる。
XとYに共通な部分はcnであるから、
XとYの最大公約数はcn（ただし、c > 1）である。
これは、XとYとの最大公約数がnであるという仮定に反する。
よって、
XとYの最大公約数nを使って
X = an
Y = bn
と表わしたとき、aとbは互いに素（最大公約数が1）である。