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数学 図形
中3です。 図形の問題です。 下の図において四角形ABCDは長方形でAB=2、AD=4です。 弧ACは点Oを中心とし、点Aで辺ADに接する半径rの円の一部である。 この弧ACと辺ABと辺BCに接する円の半径をa, 弧ACと辺CDと辺ADに接する円の半径をbとする。 最初の問題のrを求めよ。はでき、5に成りました。 ・aを求めよ ・a+bを求めよ がわかりません 図が大変汚く済みません。 お願いします。
- bigbang_panda
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図を添付図のように書き直し、交点や接点に図のように記号を割り振ります。 [ポイント]内接円Pや外接円Qの中心を結ぶ直線OP、OQ上に接点F,Eがある。 >r=5 合っています。 これは以下のようにすれば求まります。 直角三角形△OBC(緑、水の一部、黄色の一部を合せた三角形)に三平方の定理を適用して OC^2=OB^2+BC^2 OC=r, BC=4, OB=OA-AB=r-2を代入 r^2=(r-2)^2+4^2 0=20-4r ∴r=5 ...(1) >・aを求めよ 円Pの半径PL=PM=PF=aを求めるには 直角三角形△OPL(黄色の三角形)に三平方の定理を適用して OP^2=PL^2+OL^2 PL=a, OP=OF-FP=OC-a=r-a=5-a, OL=OB+BL=(OA-AB)+PM=r-2+a=3+aを代入 (5-a)^2=a^2+(3+a)^2 25-10a=9+6a+a^2 a^2+16a-16=0 二次方程式の解の公式よりa>0の解を求めると a=-8+4√5(≒0.99427) ...(2) 円Qの半径QE=QJ=QK=bを求めるには 直角三角形△OQN(黄色と水色の三角形)に三平方の定理を適用して OQ^2=QN^2+ON^2 OQ=OE+QE=OC+QJ=r+b=5+b, QN=NJ-QJ=AD-QJ=4-b, ON=OA-AN=OC-QK=r-b=5-b を代入して (5+b)^2=(4-b)^2+(5-b)^2 b^2-28b+16=0 二次方程式の解の公式を用いて0<b<2の範囲の解を求めると b=14-6√5(≒0.58359) ...(3) >・a+bを求めよ (2),(3)より a+b=a=-8+4√5+14-6√5=6-2√5(≒1.52786)
その他の回答 (1)
#1の方の親切な回答に付け加えることもないのですが、ひとつだけ。 「2つの円が接していれば、2円の中心と接点が同一直線上にある」(証明はやや難しいが、対称であるという感じで理解) を頭に入れて置きましょう。 #1の方のきれいな図でいうと、点Oと点Pと点F、点Oと点Eと点Qです。
お礼
私がそうなんですが、問題の図をノートに写したりすると 正確じゃなく、きづかないときもあるので覚えておきたいと思います! 特にこの問題なんかはそれを使ってるので。 ありがとうございました!
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