高校数学、立体図形の問題 正4角錐と内部の球の問題
- 正4角錐の全ての辺に接し、中心が正4角錐の内部にある球の半径を求める問題の解法と疑問点について解説します。
- 問題集の解答で、正4角錐の切り口を考えて求めた内接円の半径と球の半径の違いについて説明します。
- また、問題の図において球がACにめり込むように見える理由と、全ての辺に接するような球を描くことの難しさについても考察します。
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高校数学、立体図形
図のように(4角錐と赤文字で書かれている図)正4角錐があります。 OA=OB=OC=OD=6、AB=BC=CD=DA=4である。 この正4角錐の全ての辺に接し、中心が正4角錐の内部にある球の半径を求めよという問題。 (問題集の解答一) 平面ABCDによる球の切り口はABCDの内接円であるから、その半径は2((1))である。 すると、面OACによる断面は図1のようになる。Pは球の中心、HはABCDの対角線の交点である。(1)はHIとして現れる。三角形OPJ∽三角形OAHであり、OP対PJ=OA対AH=3対√2. よって、球の半径をrとすると、OP=3/√2r。これと、OH=√6^2-(2√2)^2=2√7より、PH=2√7-3/√2r((2)) 三角形PIHにおいてr^2=2^2+(2)^2整理して、解くと、 r=4√14/7 (疑問) 上の問題集の解説で、ABCDによる切り口をかんがえて、ABCDの内接円の半径を求める場面が出てきましたが、その半径(図1ではIH)と球の半径はどうして違うのでしょうか? また、図1では球はOA,OCに接しています。(全ての辺に接する) しかし、ACにめり込むように書かれていますがこれはどのように考えてかいたのでしょうか? 全ての辺に接するように球が存在するというのを最初に図に書こうとしましたが無理でした、この問題はどのようにするのが得策なのでしょうか?
- tjag
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この問題は、QNo.8700113と同じでしょう。 それをきちんと補足しないと。 誰もが、QNo.8700113を先に見るとは限りませんよ。 「平面ABCDによる球の切り口はABCDの内接円であるから、その半径は2((1))である」とありますが、(1)はどこにも出てこないので、その半径は4/2=2としないと。 「その半径(図1ではIH)と球の半径はどうして違うのでしょうか」については、「直角三角形の斜辺の長さは他の二辺の長さよりも長いから」です。
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解決しました。ありがとうございました。